후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)

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• 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)

 

 

개요

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(a=1\) 인 경우, 리만제타함수와 리만가설가 됨

\(a=q/p\) 인 경우,

\(\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty \frac{p^s}{(pn+q)^s}\)

 

 

덧셈공식

\(k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)\)

 

 

 

디리클레 L-함수와의 관계

\(\chi\)가 주기가 \(p\)인 디리클레 캐릭터라고 하면

\(L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)\)

\(\chi\)가 \(\chi(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면

\(L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\)

 

 

Hermite의 적분표현 

\(\operatorname{Re} a > 0 \) 일 때, \(\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}\)

 

 

감마함수와의 관계

(정리) Lerch

\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)

 

(증명)

위에 있는 Hermite의 표현과 감마함수의 Binet's second expression 을 이용■

 

 

베르누이 다항식과의 관계

정수 \(n\geq 0\)에 대하여 \(\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}\)

특히, \(n=0\)이면 \(\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x\)

• 베르누이 다항식
  

 

 

메모

 

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}\)

\(\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a\)

\(\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+}\log a\)

\(G(a)=e^{\zeta'(0,a)}\)라고 두면, \(G(a+1)=aG(a)\).

\(a>0\) 일때,  \(G(a)\)는 로그 볼록성을 가진다.

또한 \(G(a)\)는 \(a>0\)에서 해석함수이다. 

감마함수의 성질로부터 \(G(a)=G(1)\Gamma(a)\)

\(G(1)=\zeta'(0)\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) 로부터 (모든 자연수의 곱과 리만제타함수 참조)

\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 임이 증명된다.

 

 

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

관련된 다른 주제들

• 적분쇼
  
• 감마함수
  
• 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리
  
• 파이가 아니라 2파이다?
  

 

수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

참고할만한 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz_zeta_function
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=

 

 

관련논문

• On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 1
  
  • Olivier Espinosa  and Victor H. Moll
• On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2
  
  • Olivier Espinosa  and Victor H. Moll
• A class of logarithmic integrals
  
  • Victor Adamchik, 1997
• The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function
  
  • Bruce C. BerndtThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
• On the Hurwitz zeta-function
  
  • Bruce C. Berndt, Source: Rocky Mountain J. Math. Volume 2, Number 1 (1972), 151-158.
    

 

 

 

 

 

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