"후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
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* 후르비츠 제타함수를 다음과 같이 정의
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:<math>\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}</math>
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* <math>a=1</math> 인 경우, [[리만제타함수]]가 됨
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* <math>a=q/p</math> 인 경우,
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:<math>\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty  \frac{p^s}{(pn+q)^s}</math>
  
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<math>\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}</math>
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<math>a=1</math> 인 경우, [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]가 됨
 
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<math>\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty \frac{p^s}{(pn+q)^s}</math>
 
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==덧셈공식==
 
==덧셈공식==
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* 다음이 성립한다
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:<math>k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)</math>
  
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==디리클레 L-함수와의 관계==
 
==디리클레 L-함수와의 관계==
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* <math>\chi</math>가 주기가 <math>p</math>인 [[디리클레 지표]]라고 하면, [[디리클레 L-함수]]를 다음과 같이 쓸 수 있다
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:<math>L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)</math>
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* 가령 <math>\chi</math>가 <math>\chi(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면
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:<math>L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math>
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<math>\chi</math>가 주기가 <math>p</math>인 디리클레 캐릭터라고 하면
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==에르미트의 적분표현 ==
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* <math>\operatorname{Re} a > 0 </math> 일 때,
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<math>L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)</math>
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:<math>\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}</math>
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<math>\chi</math>가 <math>\chi(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면
 
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==Hermite의 적분표현 ==
 
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==감마함수와의 관계==
 
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다음이 성립한다
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:<math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\label{her}</math>
  
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위에 있는 에르미트의 적분표현 \ref{her}과 [[감마함수]]의 Binet's second expression 을 이용■
  
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위에 있는 Hermite의 표현과 [[감마함수]]의 Binet's second expression 을 이용■
 
  
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==베르누이 다항식과의 관계==
 
==베르누이 다항식과의 관계==
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* 정수 <math>n\geq 0</math>에 대하여 <math>\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}</math>
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정수 <math>n\geq 0</math>에 대하여 <math>\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}</math>
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* 특히, <math>n=0</math>이면 <math>\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x</math>
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* [[베르누이 다항식]]
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특히, <math>n=0</math>이면 <math>\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x</math>
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* [[베르누이 다항식]]<br>
 
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==메모==
 
==메모==
  
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<math>\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}</math>
 
<math>\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}</math>
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<math>\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a</math>
 
<math>\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a</math>
  
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<math>G(a)=e^{\zeta'(0,a)}</math>라고 두면, <math>G(a+1)=aG(a)</math>.
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<math>G(a)=e^{\zeta'(0,a)}</math>라고 두면, <math>G(a+1)=aG(a)</math>.
  
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<math>a>0</math> 일때,  <math>G(a)</math>는 로그 볼록성을 가진다.
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<math>a>0</math> 일때, <math>G(a)</math>는 로그 볼록성을 가진다.
  
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또한 <math>G(a)</math>는 <math>a>0</math>에서 해석함수이다. 
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또한 <math>G(a)</math>는 <math>a>0</math>에서 해석함수이다.  
  
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감마함수의 성질로부터 <math>G(a)=G(1)\Gamma(a)</math>
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감마함수의 성질로부터 <math>G(a)=G(1)\Gamma(a)</math>
  
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<math>G(1)=\zeta'(0)</math> 이므로, <math>\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}</math> 로부터 ([[모든 자연수의 곱과 리만제타함수]] 참조)
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<math>G(1)=\zeta'(0)</math> 이므로, <math>\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}</math> 로부터 ([[모든 자연수의 곱과 리만제타함수]] 참조)
  
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<math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math> 임이 증명된다.
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<math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math> 임이 증명된다.
  
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* [[수학사 연표]]
 
* [[수학사 연표]]
  
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==관련된 다른 주제들==
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==관련된 항목들==
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* [[디리클레 L-함수의 미분]]
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* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)]]
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* [[감마함수]]
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* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
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* [[파이가 아니라 2파이다?]]
  
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* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)|적분쇼]]<br>
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* [[감마함수]]<br>
 
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* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]<br>
 
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* [[파이가 아니라 2파이다?]]<br>
 
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==수학용어번역==
 
==수학용어번역==
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* {{forvo|url=Hurwitz}}
  
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
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==사전 형태의 자료==
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==참고할만한 자료==
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz_zeta_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz_zeta_function
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
  
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
 +
* Oswald, Nicola M. R., and Jörn Steuding. ‘Aspects of Zeta-Function Theory in the Mathematical Works of Adolf Hurwitz’. arXiv:1506.00856 [math], 2 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.00856.
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==관련논문==
 
==관련논문==
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+
* Dowker, J. S. “Computation of the Derivative of the Hurwitz Zeta-Function and the Higher Kinkelin Constants.” arXiv:1506.01819 [hep-Th], June 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.01819.
−
* [http://www.springerlink.com/content/wql8d40h20jljxp2/ On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 1]<br>
+
* Szabłowski, Paweł J. “A Few Remarks on Values of Hurwitz Zeta Function at Natural and Rational Arguments.” arXiv:1405.6270 [math], May 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1405.6270.
−
** Olivier Espinosa  and Victor H. Moll
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* Chatterjee, Tapas, and Sanoli Gun. “On the Zeros of Generalized Hurwitz Zeta Functions.” arXiv:1407.8319 [math], July 31, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.8319.
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* [http://www.springerlink.com/content/t285842772wv0767/ On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2]<br>
+
* [http://www.springerlink.com/content/wql8d40h20jljxp2/ On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 1]
−
** Olivier Espinosa  and Victor H. Moll
+
** Olivier Espinosa  and Victor H. Moll
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* [http://doi.acm.org/10.1145/258726.258736 A class of logarithmic integrals]<br>
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* [http://www.springerlink.com/content/t285842772wv0767/ On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2]
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** Olivier Espinosa  and Victor H. Moll
 +
* [http://doi.acm.org/10.1145/258726.258736 A class of logarithmic integrals]
 
** Victor Adamchik, 1997
 
** Victor Adamchik, 1997
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* [http://www.jstor.org/stable/2322640 The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2322640 The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function]
 
** Bruce C. BerndtThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
 
** Bruce C. BerndtThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
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* [http://projecteuclid.org/euclid.rmjm/1250131668 On the Hurwitz zeta-function]<br>
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* [http://projecteuclid.org/euclid.rmjm/1250131668 On the Hurwitz zeta-function]
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**  Bruce C. Berndt, Source: Rocky Mountain J. Math. Volume 2, Number 1 (1972), 151-158.<br>
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**  Bruce C. Berndt, Source: Rocky Mountain J. Math. Volume 2, Number 1 (1972), 151-158.
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==블로그==
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[[분류:정수론]]
  
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1638777 Q1638777]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'hurwitz'}, {'LOWER': 'zeta'}, {'LEMMA': 'function'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:31 기준 최신판

개요

  • 후르비츠 제타함수를 다음과 같이 정의

\[\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\]

\[\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty \frac{p^s}{(pn+q)^s}\]


덧셈공식

  • 다음이 성립한다

\[k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)\]


디리클레 L-함수와의 관계

\[L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)\]

  • 가령 \(\chi\)가 \(\chi(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면

\[L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\]


에르미트의 적분표현

  • \(\operatorname{Re} a > 0 \) 일 때,

\[\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}\]


감마함수와의 관계

정리 (Lerch)

다음이 성립한다 \[\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\label{her}\]


증명

위에 있는 에르미트의 적분표현 \ref{her}과 감마함수의 Binet's second expression 을 이용■



베르누이 다항식과의 관계

  • 정수 \(n\geq 0\)에 대하여 \(\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}\)
  • 특히, \(n=0\)이면 \(\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x\)
  • 베르누이 다항식


메모

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}\)

\(\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a\)

\(\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+\log a\)

\(G(a)=e^{\zeta'(0,a)}\)라고 두면, \(G(a+1)=aG(a)\).

\(a>0\) 일때, \(G(a)\)는 로그 볼록성을 가진다.

또한 \(G(a)\)는 \(a>0\)에서 해석함수이다.

감마함수의 성질로부터 \(G(a)=G(1)\Gamma(a)\)

\(G(1)=\zeta'(0)\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) 로부터 (모든 자연수의 곱과 리만제타함수 참조)

\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 임이 증명된다.


역사



관련된 항목들


수학용어번역


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Oswald, Nicola M. R., and Jörn Steuding. ‘Aspects of Zeta-Function Theory in the Mathematical Works of Adolf Hurwitz’. arXiv:1506.00856 [math], 2 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.00856.


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hurwitz'}, {'LOWER': 'zeta'}, {'LEMMA': 'function'}]
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