후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)
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개요== \(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\) \(a=1\) 인 경우, 리만제타함수와 리만가설가 됨 \(a=q/p\) 인 경우, \(\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty \frac{p^s}{(pn+q)^s}\)
덧셈공식== \(k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)\)
디리클레 L-함수와의 관계== \(\chi\)가 주기가 \(p\)인 디리클레 캐릭터라고 하면 \(L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)\) \(\chi\)가 \(\chi(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면 \(L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\)
Hermite의 적분표현 == \(\operatorname{Re} a > 0 \) 일 때, \(\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}\)
감마함수와의 관계== (정리) Lerch \(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) (증명) 위에 있는 Hermite의 표현과 감마함수의 Binet's second expression 을 이용■
베르누이 다항식과의 관계== 정수 \(n\geq 0\)에 대하여 \(\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}\) 특히, \(n=0\)이면 \(\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x\)
메모== \(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\) \(\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}\) \(\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a\) \(\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+}\log a\) \(G(a)=e^{\zeta'(0,a)}\)라고 두면, \(G(a+1)=aG(a)\). \(a>0\) 일때, \(G(a)\)는 로그 볼록성을 가진다. 또한 \(G(a)\)는 \(a>0\)에서 해석함수이다. 감마함수의 성질로부터 \(G(a)=G(1)\Gamma(a)\) \(G(1)=\zeta'(0)\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) 로부터 (모든 자연수의 곱과 리만제타함수 참조) \(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 임이 증명된다.
재미있는 사실==
역사==
관련된 다른 주제들==
수학용어번역==
참고할만한 자료==
관련논문==
- On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 1
- Olivier Espinosa and Victor H. Moll
- On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2
- Olivier Espinosa and Victor H. Moll
- A class of logarithmic integrals
- Victor Adamchik, 1997
- The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function
- Bruce C. BerndtThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
- On the Hurwitz zeta-function
- Bruce C. Berndt, Source: Rocky Mountain J. Math. Volume 2, Number 1 (1972), 151-158.
- Olivier Espinosa and Victor H. Moll
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- Victor Adamchik, 1997
- Bruce C. BerndtThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
- Bruce C. Berndt, Source: Rocky Mountain J. Math. Volume 2, Number 1 (1972), 151-158.