2차원 이징 모형 (사각 격자)

수학노트
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개요

  • 통계물리에서 중요하게 취급되는 자성체의 모형
  • 격자의 각 점에 놓인 스핀들이 가장 가까운 거리에 있는 경우에만 상호작용을 하는 것을 가정
  • 2차원 이징 모형은 상전이 현상을 보이며, 정확히 풀리는 모형의 대표적인 예


정의

  • \(M\times N\) 크기 2차원 사각격자 \(L\)
  • 스핀의 배열 \(\sigma\)은 함수 \(\sigma : L\to \pm 1 \)를 의미
  • 각 \(\sigma\)에 대한 에너지, 즉 해밀토니안은 다음과 같다

\[ H(\sigma)=-\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M (J_1s_{m,n}s_{m+1,n}+J_2s_{m,n}s_{m,n+1}) \] 여기서 \(s_{m,n}\)은 \((m,n)\in L\)에서의 \(\sigma\)의 값


분배함수

  • 분배함수 \(Z(\beta)\)는 모든 가능한 스핀 배열 \(\sigma=\{s\}\)에 대하여 \(\exp\left(-\beta H(\{s\})\right)\)를 더한 값으로 정의, 즉

\[ \begin{align} Z_(\beta) & =\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})} \\ &=\sum_{\{s\}}\prod_{n=1}^N\prod_{m=1}^M \exp (K_1s_{m,n}s_{m+1,n}+K_2s_{m,n}s_{m,n+1}) \label{Zustandssumme} \end{align} \] 여기서 \(\beta=1/(kT)\), \(T\)는 온도, \(k\) 볼츠만 상수

  • \(J_1,J_2>0\)이면, 이는 강자성체의 모형이 된다
  • 통계물리에서 모형을 이해하기 위해 중요한 과제는 \ref{Zustandssumme}를 구하는 것

전달행렬

  • 한 층에 해당하는 스핀 \(S_n=\{s_{1,n},\cdots, s_{M,n}\}\)을 도입하면, \ref{Zustandssumme}는 다음과 같이 쓰여진다

\[ \begin{aligned} Z&=\sum_{\{s\}}\prod_{n=1}^N \exp (\sum_{m=1}^M K_1s_{m,n}s_{m+1,n}) \exp (\sum_{m=1}^M K_2s_{m,n}s_{m,n+1})\\ &=\sum_{S_1,\cdots, S_N} (V_1)_{S_1}(V_2)_{S_1S_2}(V_1)_{S_2}(V_2)_{S_2S_3}\cdots(V_1)_{S_N}(V_2)_{S_NS_1} \\ &=\sum_{S_1,\cdots, S_N} (V_1)_{S_1}^{1/2}(V_2)_{S_1S_2}(V_1)_{S_2}^{1/2}(V_1)_{S_2}^{1/2}(V_2)_{S_2S_3}\cdots(V_1)_{S_N}^{1/2}(V_2)_{S_NS_1}(V_1)_{S_1}^{1/2} \end{aligned} \label{Zustandssumme2} \] 여기서 \[ \begin{aligned} (V_1)_{S_{n}}&=\exp(K_1\sum_{m=1}^M s_{m,n}s_{m+1,n}) \\ (V_2)_{S_nS_{n+1}}&=\exp(K_2\sum_{m=1}^M s_{m,n}s_{m,n+1}) \end{aligned}\label{entry} \]

\[ V_1=\exp (K_1 \sum_{m=1}^M \sigma_m^z\sigma_{m+1}^z) \] \[ V_2 =(2\sinh 2K_2)^{M/2}\exp (K_2^* \sum_{m=1}^M \sigma_m^x) \] 여기서 \(\tanh K_2^*=e^{-2K_2}\)이고 \(\sigma^x, \sigma^z\)를 파울리 행렬이라 하면, \(m=1,\cdots, M\)에 대하여 \[\sigma_m^x=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^x}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1,\] \[\sigma_m^z=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^z}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1\]

  • 표준적인 \((\mathbb{C}^2)^{\otimes N}\)의 기저 \(\{S_{1},\cdots, S_{2^M}\}\)를 이용하여, \(V_1\)와 \(V_2\)를 \(2^M\times 2^M\) 행렬로 이해할 수 있고, 이 때 행렬의 성분은 \ref{entry}로 주어지게 된다
  • \ref{Zustandssumme2}는 이제 다음과 같이 쓸 수 있다

\[ Z= \operatorname{Tr} (V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2})^N=\operatorname{Tr} T^N \] 여기서 \(T=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}\)

  • \(T=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}\)를 전달행렬 (transfer matrix)이라 부르며, 분배함수 \(Z\)를 구하는 문제는 이제 \(T\)를 대각화하는 문제로 이해할 수 있다

unitary transformation

  • 다음의 변환을 적용

\[ \sigma^x\mapsto -\sigma^z \\ \sigma^z\mapsto -\sigma^x \]

  • \(UV_1U^{-1}=\exp\left[K_1\sum_{j=1}^{M-1}(c_j^\dagger-c_j)(c_{j+1}^\dagger+c_{j+1})-K_1(c_M^\dagger-c_M)(c_{1}^\dagger+c_{1})\prod_{m=1}^M (1-2c_{m}^\dagger c_{m})\right]\)
  • \(c_{m}^\dagger c_{m}\)은 number operator
  • \(c_{M+1}^\dagger=(-1)^{N_F-1}c_{1}^\dagger\), \(c_{M+1}=(-1)^{N_F-1}c_{1}\)
  • \(UV_1U^{-1}=\exp\left[K_1\sum_{j=1}^M(c_j^\dagger-c_j)(c_{j+1}^\dagger+c_{j+1})\right]\)


전달행렬의 대각화

메모

  • \(L \times L\) 정사각 격자, \(N=L^2\)의 경우
  • 해밀토니안이 다음과 같이 주어진 경우

\[ H(\sigma)= -J \sum_{ \left\langle \, {i,j}\, \right\rangle} \sigma_i \sigma_j \]

  • 자유에너지는

\[ F= - kT \ln Z_N \]

  • 열역학적 극한에서 스핀당 자유에너지

\[ f= - k T \ln \lambda \] 여기서 \(\lambda= \lim_{N\to \infty } Z_N^{1/N}\)


정리 (온새거, 1944)

\[ \begin{aligned} \ln \lambda & = \ln{2 \cosh(2K)}+ {1\over 2\pi^2}\int_0^\pi\int_0^\pi\ln (1-4\kappa \cos \omega_1 \cos \omega_2)\, d\,\omega_1 d\,\omega_2 \\ & = \ln{2 \cosh(2K)}+ \frac{1}{2 \pi}\int_0^{\pi } \log \left( \frac{1+\sqrt{1-16 k^2 \cos ^2(\omega_1)}}{2}\right) \, d\,\omega_1 \\ & = \ln{2 \cosh(2K)}-\sum _{n=1}^{\infty } \binom{2 n}{n}^2 \frac{\kappa^{2 n}}{4 n} \end{aligned} \] 여기서 \(K=\frac{J}{2kT}\), \(2\kappa = \tanh(2K) \operatorname{sech}(2K)\)


관련된 항목들

사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Mohammed, Jahangir, and Swapna Mahapatra. “A Comparative Study of \(2d\) Ising Model at Different Boundary Conditions Using Cellular Automata.” arXiv:1601.00518 [cond-Mat, Physics:hep-Th], January 4, 2016. http://arxiv.org/abs/1601.00518.
  • Viswanathan, G. M. ‘The Hypergeometric Series for the Partition Function of the 2-D Ising Model’. arXiv:1411.2495 [cond-Mat], 10 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2495.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'square'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'lattice'}, {'LOWER': 'ising'}, {'LEMMA': 'model'}]
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