"3차원 유한회전군의 분류"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5 (.*)">” 문자열을 “==” 문자열로)
2번째 줄: 2번째 줄:
  
 
* SO(3) =  2차원 구면의 회전변환으로 이루어진 군
 
* SO(3) =  2차원 구면의 회전변환으로 이루어진 군
−
*  SO(3)의 유한부분군의 분류 문제<br>
+
** [[3차원 공간의 회전과 SO(3)]] 항목 참조
 +
*  SO(3)의 유한부분군의 분류는 다음과 같이 주어짐
 
** [[순환군]] <math>C_n</math>
 
** [[순환군]] <math>C_n</math>
−
** 이면군 <math>D_n</math>
+
** [[정이면체군(dihedral group)]] <math>D_n</math>
 
** 정사면체의 대칭군 <math>T</math> , A4
 
** 정사면체의 대칭군 <math>T</math> , A4
 
** 정팔면체(정육면체)의 대칭군 <math>O</math> S4
 
** 정팔면체(정육면체)의 대칭군 <math>O</math> S4
 
** 정이십면체(정십이면체)의 대칭군 <math>I</math> A5
 
** 정이십면체(정십이면체)의 대칭군 <math>I</math> A5
−
 
−
 
 
  
 
 
 
 
  
 
==SU(2)의 유한부분군==
 
==SU(2)의 유한부분군==
−
 
 
* binary polyhedral groups
 
* binary polyhedral groups
 
*  binary Tetrahedral groups<br>
 
*  binary Tetrahedral groups<br>
 
** <math>\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}</math>
 
** <math>\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}</math>
 
** group of order 24
 
** group of order 24
−
 
−
 
 
−
 
 
 
 
 
  
42번째 줄: 37번째 줄:
 
2) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 <math>v_p-1</math> 이므로, <math>|S|=\sum_{p}(v_p-1)</math>
 
2) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 <math>v_p-1</math> 이므로, <math>|S|=\sum_{p}(v_p-1)</math>
  
−
극점들을 움직이는 <math>\Gamma</math>에 의한 궤도 <math>C</math>의 크기를 <math>n_{C}</math>라 하면, 위에서 얻은 두 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
+
극점들을 움직이는 <math>\Gamma</math>에 의한 궤도 <math>C</math>의 크기를 <math>n_{C}</math>라 하면, 위에서 얻은 두 식을 다음과 같이 쓸 수 있다 :
−
 
+
:<math>2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)</math>
−
<math>2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)</math>
 
−
 
 
 
여기서 <math>v_C</math>는 궤도 <math>C</math>의 원소 <math>p</math>에 대하여 <math>v_p</math>를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.
 
여기서 <math>v_C</math>는 궤도 <math>C</math>의 원소 <math>p</math>에 대하여 <math>v_p</math>를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.
  
−
위 식의 양변을 <math>n</math>으로 나누면, 다음을 얻는다.
+
위 식의 양변을 <math>n</math>으로 나누면, 다음을 얻는다:
−
 
+
:<math>2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}}).</math>
−
<math>2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}})</math>
 
  
 
<math>n\geq 2</math> 이고, <math>1\leq 2-\frac{2}{n}< 2</math>,  <math>\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1</math> 이므로,  총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다. 
 
<math>n\geq 2</math> 이고, <math>1\leq 2-\frac{2}{n}< 2</math>,  <math>\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1</math> 이므로,  총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다. 
  
−
궤도가 2개인 경우
 
  
−
<math>\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2</math>
+
===궤도가 2개인 경우===
 +
다음의 [[디오판투스 방정식]]을 얻는다
 +
:<math>\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2</math>
  
 
따라서 <math>n_1=n_2=1</math> 을 얻고, 이 경우 <math>\Gamma</math>는 크기가 n인 순환군이다.
 
따라서 <math>n_1=n_2=1</math> 을 얻고, 이 경우 <math>\Gamma</math>는 크기가 n인 순환군이다.
62번째 줄: 55번째 줄:
 
 
 
 
  
−
궤도가 3개인 경우
+
===궤도가 3개인 경우===
−
 
+
[[디오판투스 방정식]]은 다음과 같이 주어진다
−
<math>1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}</math>
+
:<math>1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}</math>
−
 
+
해는 다음과 같다
−
<math>(v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{2}{n}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)</math> 를 얻는다.
+
:<math>(v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{2}{n}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)</math>
−
 
+
각각의 경우는 정이면체군, 정사면체군, 정팔면체군, 정이십면체군에 해당한다
−
각각의 경우
 
−
 
 
 
 
 
 
  
−
 
+
==관련된 항목들==
−
 
 
−
==관련된 다른 주제들==
 
−
 
 
 
* [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]]
 
* [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]]
  
 
 
 
 
  
−
 
+
==관련도서==
−
 
+
*  Hermann Weyl, Appendix, [http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0691023743/ebk-20/ Symmetry]
−
==참고할만한 자료==
 
−
 
 
−
*  Appendix of the book '[http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0691023743/ebk-20/ Symmetry]'<br>
 
 
** [[2086890/attachments/1006856|Weyl_on_platonic_solids.pdf]]
 
** [[2086890/attachments/1006856|Weyl_on_platonic_solids.pdf]]
−
** Hermann Weyl's
 
−
 
−
 
 
  
 
 
 
 
95번째 줄: 77번째 줄:
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
−
*  http://en.wikipedia.org/wiki/<br>
+
*  http://en.wikipedia.org/wiki/
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_polyhedral_group#Binary_polyhedral_groups
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_polyhedral_group#Binary_polyhedral_groups
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_cyclic_group
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_cyclic_group

2013년 2월 9일 (토) 03:59 판

개요

  • SO(3) =  2차원 구면의 회전변환으로 이루어진 군
  • SO(3)의 유한부분군의 분류는 다음과 같이 주어짐
    • 순환군 \(C_n\)
    • 정이면체군(dihedral group) \(D_n\)
    • 정사면체의 대칭군 \(T\) , A4
    • 정팔면체(정육면체)의 대칭군 \(O\) S4
    • 정이십면체(정십이면체)의 대칭군 \(I\) A5

 

SU(2)의 유한부분군

  • binary polyhedral groups
  • binary Tetrahedral groups
    • \(\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}\)
    • group of order 24

 

 

분류 정리의 증명

\(\Gamma\) 를 크기가 n인 3차원 회전군이라 하고, 정다면체의 꼭지점들은 단위구 위에 놓여있다고 가정하자.

각각의 원소에 대하여, 회전축상에 놓인 구면위의 두 점을 극점이라고 부르자.

각 극점 p에 대하여, p를 고정하는 부동부분군은 크기가 \(v_p\geq 2\)인 순환군이 된다.

\(\Gamma\)에 의한 p의 궤도의 집합을 \(C_p\)라 하면, \(|C_p|=\frac{n}{v_p}\)가 된다.

이제 집합 \(S=\{(g,p)|g\neq 1\in \Gamma, gp=p\}\) 의 원소의 개수를 두 가지 방법으로 센다.

1) 항등원이 아닌 각각의 원소는 두 개의 극점을 가지므로, \(|S|=2(n-1)\)

2) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 \(v_p-1\) 이므로, \(|S|=\sum_{p}(v_p-1)\)

극점들을 움직이는 \(\Gamma\)에 의한 궤도 \(C\)의 크기를 \(n_{C}\)라 하면, 위에서 얻은 두 식을 다음과 같이 쓸 수 있다 : \[2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)\] 여기서 \(v_C\)는 궤도 \(C\)의 원소 \(p\)에 대하여 \(v_p\)를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.

위 식의 양변을 \(n\)으로 나누면, 다음을 얻는다: \[2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}}).\]

\(n\geq 2\) 이고, \(1\leq 2-\frac{2}{n}< 2\),  \(\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1\) 이므로,  총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다. 


궤도가 2개인 경우

다음의 디오판투스 방정식을 얻는다 \[\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2\]

따라서 \(n_1=n_2=1\) 을 얻고, 이 경우 \(\Gamma\)는 크기가 n인 순환군이다.

 

궤도가 3개인 경우

디오판투스 방정식은 다음과 같이 주어진다 \[1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}\] 해는 다음과 같다 \[(v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{2}{n}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)\] 각각의 경우는 정이면체군, 정사면체군, 정팔면체군, 정이십면체군에 해당한다  

관련된 항목들

 

관련도서

 

사전형태의 자료

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=3차원_유한회전군의_분류&oldid=26396"