"3차원 공간의 회전과 SO(3)"의 두 판 사이의 차이

2013년 3월 10일 (일) 03:47 판

3차원에서 단위벡터 \((\omega _x,\omega _y,\omega _z)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현\[\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \\ (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \\ -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)\]
유도 http://www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html
x,y,z 축을 중심으로 한 회전변환
- x 축\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ 0 & \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{array} \right)\]
- y 축\[\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{array} \right)\]
- z 축\[\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) & 0 \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\]

단위구면의 회전으로부터 stereographic projection 을 통해 다음과 같은 뫼비우스 변환 을 얻을 수 있다\[f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}\]
여기서 \(\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\)
더 구체적으로 단위벡터 \((a,b,c)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다\[f(z)=\frac{z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}{z \left(b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}\]
벡터공간이 아닌 1차원 복소사영평면에 정의되므로, 사영표현(projective representation) 이다
벡터공간에 정의되는 표현을 얻으려면, Spin(3)와 파울리 행렬 의 도입이 필요하다

리대수의 생성원\[L_{x}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\]\[L_{y}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\]\[L_{z}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\]
\([L_{i},L_{j}]=\epsilon_{ijk}L_{k}\)
벡터의 외적(cross product)

@@ 118번째 줄: / 118번째 줄: @@
 * Harmonic analysis on commutative spaces
 * Groups and Symmetries http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-78865-4
+[[분류:리군과 리대수]]