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<math>\left(\frac{a}{p}\right)  =  \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x.  \end{cases}</math>
  
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:<math>\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases}  +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}</math> 형태로 쓸 수도 있음.
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==역사==
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* [[가우스 합|가우스합]]
 
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* [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)|더 일반적인 상호법칙들(reciprocity laws)]]
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* [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]]
 
* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
 
* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
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* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
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* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
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* [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리|Chebotarev density theorem]]
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* [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리]]
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* [[자코비 세타함수|세타함수]]
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* [[자코비 세타함수]]
  
 
   
 
   
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMTVkNzg5MzAtMDAxZi00YWFmLWJkMGMtMTY2ZWY2NjlhMGYw&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMTVkNzg5MzAtMDAxZi00YWFmLWJkMGMtMTY2ZWY2NjlhMGYw&sort=name&layout=list&num=50
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* http://functions.wolfram.com/
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
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* [[매스매티카 파일 목록]]
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_residue
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_residue
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_reciprocity
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_reciprocity
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==관련도서==
 
==관련도서==
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* [http://www.amazon.com/Fourier-Analytic-Proof-Quadratic-Reciprocity/dp/0471358304 The Fourier-Analytic Proof of Quadratic Reciprocity]<br>
 
* [http://www.amazon.com/Fourier-Analytic-Proof-Quadratic-Reciprocity/dp/0471358304 The Fourier-Analytic Proof of Quadratic Reciprocity]<br>
 
** Michael C. Berg
 
** Michael C. Berg
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*  도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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*  도서검색<br>
 
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss _gw?url=search-alias %3 Dstripbooks&field-keywords=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
 
   
 
   
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==관련논문==
 
==관련논문==
  
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* [http://www.math.kth.se/%7Eakarl/langmemorial.pdf Applications of heat kernels on abelian groups: \[Zeta](2n), quadratic reciprocity, Bessel integrals]<br>
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* Anders Karlsson, [http://www.math.kth.se/%7Eakarl/langmemorial.pdf Applications of heat kernels on abelian groups: $\zeta(2n)$, quadratic reciprocity, Bessel integrals]
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** Anders Karlsson
 
 
* [http://www.jstor.org/stable/2322482 Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/2322482 Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application]<br>
 
** David A. Cox, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
 
** David A. Cox, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
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** Albert Leon Whiteman, <cite style="line-height: 2em;">Mathematics Magazine</cite>, Vol. 23, No. 2 (Nov. - Dec., 1949), pp. 71-74
 
** Albert Leon Whiteman, <cite style="line-height: 2em;">Mathematics Magazine</cite>, Vol. 23, No. 2 (Nov. - Dec., 1949), pp. 71-74
  
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==블로그==
 
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* http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=이차잉여
 
 
[[분류:초등정수론]]
 
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[[분류:정수론]]
 
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2013년 4월 10일 (수) 09:24 판

개요

  • 정수 a를 소수 p로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 p로 나눈 나머지와 같으면 이차잉여라 한다
  • 소수 p에 대하여, 이차합동식 \(x^2\equiv a \pmod p\) 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다



이차잉여

예

테이블

\begin{array}{c|c} p & \text{quadratic residue} \\ \hline 2 & \{1\} \\ 3 & \{1\} \\ 5 & \{1,4\} \\ 7 & \{1,2,4\} \\ 11 & \{1,3,4,5,9\} \\ 13 & \{1,3,4,9,10,12\} \\ 17 & \{1,2,4,8,9,13,15,16\} \\ 19 & \{1,4,5,6,7,9,11,16,17\} \\ 23 & \{1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\} \\ 29 & \{1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28\} \\ \end{array}


'상호법칙 (reciprocity law)'이란

  • 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
  • 인수분해되는 방식에 따라서 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
  • \(f(x)=x^2-5\)라면, 홀수인 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다\[p\equiv 1,4 \pmod 5\] 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해됨\[p\equiv 2,3 \pmod 5\] 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 분해되지 않음
  • 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws) 항목 참조



르장드르 부호

\(\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\)


이차잉여의 상호법칙

(정리) 이차잉여의 상호법칙

홀수인 서로 다른 소수 p, q에 대하여, \[\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}\] 또는 \[\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\] 형태로 쓸 수도 있음.


역사



메모



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료


관련도서


관련논문

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