"이차잉여의 상호법칙"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
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* [[이차잉여의 상호법칙]]
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* 정수 <math>a</math>를 소수 <math>p</math>로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 <math>p</math>로 나눈 나머지와 같으면 <math>p</math>에 대한 [[이차잉여]]라 한다
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* 소수 <math>p</math>에 대하여, 이차합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
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* 두 홀수인 소수 <math>p,q</math>가 서로의 법에 대한 이차잉여가 될 조건은 긴밀히 연관되어 있으며, 이를 이차잉여의 상호법칙이라 한다
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* 정수론의 중심적인 주제인 [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]]의 시작
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<h5>개요</h5>
 
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* 정수 a를 소수 p로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 p로 나눈 나머지와 같으면 이차잉여라 한다
 
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* 소수 p에 대하여, 이차합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
 
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<h5>이차잉여</h5>
 
  
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==이차잉여==
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===예===
 
* [[합동식 (모듈로 modulo 연산)]]
 
* [[합동식 (모듈로 modulo 연산)]]
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*  소수 3에 대한 이차잉여<br>
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*  소수 3에 대한 이차잉여
 
** 3으로 나눈 나머지가 1인수
 
** 3으로 나눈 나머지가 1인수
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*  소수 5에 대한 이차잉여<br>
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*  소수 5에 대한 이차잉여
 
** 5로 나눈 나머지가 1 또는 4
 
** 5로 나눈 나머지가 1 또는 4
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* 소수 7에 대한 이차잉여<br>
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* 이차잉여를 판정하는 하나의 방법은 [[가우스의 보조정리(Gauss's lemma)]]를 사용하는 것이다
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** 7로 나눈 나머지가 1,2,4 인 정수
 
  
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===테이블===
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* 처음 몇개의 소수에 대한 이차잉여와 비이차잉여
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:<math>
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\begin{array}{c|c|c}
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\text{} & \text{quadratic residue} & \text{quadratic nonresidue} \\
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\hline
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2 & \{1\} & \{\} \\
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3 & \{1\} & \{2\} \\
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5 & \{1,4\} & \{2,3\} \\
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7 & \{1,2,4\} & \{3,5,6\} \\
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11 & \{1,3,4,5,9\} & \{2,6,7,8,10\} \\
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13 & \{1,3,4,9,10,12\} & \{2,5,6,7,8,11\} \\
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17 & \{1,2,4,8,9,13,15,16\} & \{3,5,6,7,10,11,12,14\} \\
 +
19 & \{1,4,5,6,7,9,11,16,17\} & \{2,3,8,10,12,13,14,15,18\} \\
 +
23 & \{1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\} & \{5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22\} \\
 +
29 & \{1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28\} & \{2,3,8,10,11,12,14,15,17,18,19,21,26,27\}
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\end{array}
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</math>
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* [[이차잉여]] 항목 참조
  
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<h5>'상호법칙'이란</h5>
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==르장드르 부호==
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* 정수 <math>a</math>와 홀수인 소수 <math>p</math> 에 대하여, 르장드르 부호를 다음과 같이 정의한다
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:<math>\left(\frac{a}{p}\right)  =  \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x.  \end{cases}</math>
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* [[르장드르 부호와 자코비 부호]] 항목 참조
 +
 
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===테이블===
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* 처음 몇 개의 소수들에 대한 르장드르 부호 <math>\left(\frac{y}{x}\right)</math>의 계산
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:<math>
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\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
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x\ddots y & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 \\ \hline
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3 &  & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ \hline
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5 & -1 &  & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 \\ \hline
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7 & 1 & -1 &  & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ \hline
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11 & -1 & 1 & 1 &  & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ \hline
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13 & 1 & -1 & -1 & -1 &  & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ \hline
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17 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 &  & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
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19 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 &  & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \hline
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23 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 &  & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline
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29 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 &  & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ \hline
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31 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 &  & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline
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37 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 &  & 1 & -1 & 1 & 1 \\ \hline
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41 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 &  & 1 & -1 & -1 \\ \hline
 +
43 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 &  & -1 & 1 \\ \hline
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47 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 &  & 1 \\ \hline
 +
53 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 &
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
 
 +
==이차잉여의 상호법칙==
 +
==='상호법칙 (reciprocity law)'이란===
  
 
* 문제 : 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>를 <math>\pmod p</math>로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
 
* 문제 : 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>를 <math>\pmod p</math>로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
 
* 인수분해되는 방식에 따라서 <math>p</math>가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
 
* 인수분해되는 방식에 따라서 <math>p</math>가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
−
* <math>f(x)=x^2-5</math>라면,  홀수인 <math>p</math>에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다<br><math>p\equiv 1,4 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f(x) \pmod p</math> 는 두 개의 일차식으로 분해됨<br><math>p\equiv 2,3 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f(x) \pmod p</math> 는 분해되지 않음<br>
+
* <math>f(x)=x^2-5</math>라면, 홀수인 <math>p</math>에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
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** <math>p\equiv 1,4 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f (x) \pmod p</math> 는 두 개의 일차식으로 분해
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** <math>p\equiv 2,3 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f (x) \pmod p</math> 는 분해되지 않음
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* [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]] 항목 참조
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<h5>르장드르 부호</h5>
 
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* 르장드르 부호와 자코비 부호
 
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<math>\left(\frac{a}{p}\right)  =  \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x.  \end{cases}</math>
 
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<h5>정리</h5>
 
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(정리) 이차잉여의 상호법칙
 
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홀수인 서로 다른 소수 p, q에 대하여,
 
  
−
 <math>\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}</math>
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===상호법칙===
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;정리
 +
홀수인 서로 다른 소수 <math>p, q</math>에 대하여,
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:<math>\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}</math>
 +
또는
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:<math>\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases}  +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}</math> 형태로 쓸 수도 있음.
 +
다음과 같은 보조 법칙이 성립
 +
:<math>
 +
\left(\frac{-1}{p}\right)= (-1)^\frac{p-1}{2},\;\;\;
 +
\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^\frac{p^2-1}{8}.
 +
</math>
  
−
 
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;정리
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<math>p\nmid 2n</math>인 모든 소수에 대하여 <math>\left(\frac{n}{p}\right)=\chi(p)</math>를 만족하는 준동형사상 <math>\chi:(\mathbb{Z}/4n\mathbb{Z})^{\times}→\{1,−1\}</math>가 존재한다
  
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<math>\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases}  +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}</math> 형태로 쓸 수도 있음.
 
  
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==상호법칙의 증명==
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* [[아이젠슈타인의 이차잉여의 상호법칙 증명]]
  
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<h5>역사</h5>
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==역사==
  
 
* 1796년 가우스에 의해 처음으로 증명
 
* 1796년 가우스에 의해 처음으로 증명
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quadratic+reciprocity
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* [[수학사 연표]]
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
  
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<h5>재미있는 사실</h5>
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==메모==
  
 
* http://mathoverflow.net/questions/1420/whats-the-best-proof-of-quadratic-reciprocity
 
* http://mathoverflow.net/questions/1420/whats-the-best-proof-of-quadratic-reciprocity
 
* http://mathoverflow.net/questions/43240/what-is-the-l-function-version-of-quadratic-reciprocity
 
* http://mathoverflow.net/questions/43240/what-is-the-l-function-version-of-quadratic-reciprocity
−
* 네이버 지식인<br>
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* http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=이차잉여
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** [http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EC%9E%89%EC%97%AC ][http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EC%9E%89%EC%97%AC http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=이차잉여]
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<h5>관련된 항목들</h5>
+
==관련된 항목들==
  
−
* [[가우스 합|가우스합]]
+
* [[가우스 합]]
−
* [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)|더 일반적인 상호법칙들(reciprocity laws)]]
+
* [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]]
 +
* [[3차 상호법칙]]
 
* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
 
* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
−
* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
+
* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
−
* [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리|Chebotarev density theorem]]
+
* [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리]]
−
* [[자코비 세타함수|세타함수]]
+
* [[자코비 세타함수]]
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<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMTVkNzg5MzAtMDAxZi00YWFmLWJkMGMtMTY2ZWY2NjlhMGYw/edit?pli=1
  
−
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMTVkNzg5MzAtMDAxZi00YWFmLWJkMGMtMTY2ZWY2NjlhMGYw&sort=name&layout=list&num=50
 
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* http://functions.wolfram.com/
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
  
−
* [[매스매티카 파일 목록]]
+
==사전 형태의 자료==
  
−
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/이차잉여
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_residue
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_residue
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_reciprocity
  
−
 
 
  
−
 
+
==관련도서==
−
 
 
−
<h5>관련도서</h5>
 
  
 
* Avner Ash, Robert Gross [http://www.amazon.com/Fearless-Symmetry-Exposing-Patterns-Numbers/dp/0691124922 Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers]
 
* Avner Ash, Robert Gross [http://www.amazon.com/Fearless-Symmetry-Exposing-Patterns-Numbers/dp/0691124922 Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers]
−
* [http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/%7Ehb3/rec.html Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein]<br>
+
* [http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/%7Ehb3/rec.html Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein]
 
** Franz Lemmermeyer (Springer, 2000)
 
** Franz Lemmermeyer (Springer, 2000)
−
* [http://www.amazon.com/Fourier-Analytic-Proof-Quadratic-Reciprocity/dp/0471358304 The Fourier-Analytic Proof of Quadratic Reciprocity]<br>
+
* [http://www.amazon.com/Fourier-Analytic-Proof-Quadratic-Reciprocity/dp/0471358304 The Fourier-Analytic Proof of Quadratic Reciprocity]
 
** Michael C. Berg
 
** Michael C. Berg
−
*  도서내검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
−
 
+
  
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<h5>관련논문</h5>
+
==리뷰, 에세이, 강의노트==
  
−
* [http://www.math.kth.se/%7Eakarl/langmemorial.pdf Applications of heat kernels on abelian groups: ζ(2n), quadratic reciprocity, Bessel integrals]<br>
+
* Anders Karlsson, [http://www.math.kth.se/%7Eakarl/langmemorial.pdf Applications of heat kernels on abelian groups: <math>\zeta(2n)</math>, quadratic reciprocity, Bessel integrals]
−
** Anders Karlsson
+
* David A. Cox, [http://www.jstor.org/stable/2322482 Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application], <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
−
* [http://www.jstor.org/stable/2322482 Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application]<br>
 
−
** David A. Cox, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
 
 
* Harold M. Edwards, [http://www.jstor.org/stable/2690368 Euler and Quadratic Reciprocity]<cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 285-291
 
* Harold M. Edwards, [http://www.jstor.org/stable/2690368 Euler and Quadratic Reciprocity]<cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 285-291
−
* [http://www.jstor.org/stable/2690080 Why Study Equations over Finite Fields?]<br>
+
* Neal Koblitz, [http://www.jstor.org/stable/2690080 Why Study Equations over Finite Fields?] <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 55, No. 3 (May, 1982), pp. 144-149
−
** Neal Koblitz, <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 55, No. 3 (May, 1982), pp. 144-149
+
* B. F. Wyman,  [http://www.jstor.org/stable/2317083 What is a Reciprocity Law?] <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
−
* [http://www.jstor.org/stable/2317083 What is a Reciprocity Law?]<br>
+
* Albert Leon Whiteman [http://www.jstor.org/stable/3219217 Theorems on Quadratic Residues], <cite style="line-height: 2em;">Mathematics Magazine</cite>, Vol. 23, No. 2 (Nov. - Dec., 1949), pp. 71-74
−
** B. F. Wyman, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
 
−
* [http://www.jstor.org/stable/3219217 Theorems on Quadratic Residues]<br>
 
−
** Albert Leon Whiteman, <cite style="line-height: 2em;">Mathematics Magazine</cite>, Vol. 23, No. 2 (Nov. - Dec., 1949), pp. 71-74
 
−
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EC%9E%89%EC%97%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/이차잉여]
 
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_reciprocity
 
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<h5>블로그</h5>
+
[[분류:초등정수론]]
 +
[[분류:정수론]]
  
−
* 구글 블로그 검색 [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EC%9E%89%EC%97%AC http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=이차잉여]
+
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q878259 Q878259]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'quadratic'}, {'LEMMA': 'residue'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:57 기준 최신판

개요

  • 정수 \(a\)를 소수 \(p\)로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 \(p\)로 나눈 나머지와 같으면 \(p\)에 대한 이차잉여라 한다
  • 소수 \(p\)에 대하여, 이차합동식 \(x^2\equiv a \pmod p\) 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
  • 두 홀수인 소수 \(p,q\)가 서로의 법에 대한 이차잉여가 될 조건은 긴밀히 연관되어 있으며, 이를 이차잉여의 상호법칙이라 한다
  • 정수론의 중심적인 주제인 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)의 시작


이차잉여

예

테이블

  • 처음 몇개의 소수에 대한 이차잉여와 비이차잉여

\[ \begin{array}{c|c|c} \text{} & \text{quadratic residue} & \text{quadratic nonresidue} \\ \hline 2 & \{1\} & \{\} \\ 3 & \{1\} & \{2\} \\ 5 & \{1,4\} & \{2,3\} \\ 7 & \{1,2,4\} & \{3,5,6\} \\ 11 & \{1,3,4,5,9\} & \{2,6,7,8,10\} \\ 13 & \{1,3,4,9,10,12\} & \{2,5,6,7,8,11\} \\ 17 & \{1,2,4,8,9,13,15,16\} & \{3,5,6,7,10,11,12,14\} \\ 19 & \{1,4,5,6,7,9,11,16,17\} & \{2,3,8,10,12,13,14,15,18\} \\ 23 & \{1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\} & \{5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22\} \\ 29 & \{1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28\} & \{2,3,8,10,11,12,14,15,17,18,19,21,26,27\} \end{array} \]


르장드르 부호

  • 정수 \(a\)와 홀수인 소수 \(p\) 에 대하여, 르장드르 부호를 다음과 같이 정의한다

\[\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\]

테이블

  • 처음 몇 개의 소수들에 대한 르장드르 부호 \(\left(\frac{y}{x}\right)\)의 계산

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x\ddots y & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 \\ \hline 3 & & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ \hline 5 & -1 & & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 \\ \hline 7 & 1 & -1 & & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ \hline 11 & -1 & 1 & 1 & & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ \hline 13 & 1 & -1 & -1 & -1 & & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ \hline 17 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 19 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \hline 23 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline 29 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ \hline 31 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline 37 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & & 1 & -1 & 1 & 1 \\ \hline 41 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & & 1 & -1 & -1 \\ \hline 43 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & & -1 & 1 \\ \hline 47 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & & 1 \\ \hline 53 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & \end{array} \]

이차잉여의 상호법칙

'상호법칙 (reciprocity law)'이란

  • 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
  • 인수분해되는 방식에 따라서 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
  • \(f(x)=x^2-5\)라면, 홀수인 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
    • \(p\equiv 1,4 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해
    • \(p\equiv 2,3 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 분해되지 않음
  • 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws) 항목 참조

상호법칙

정리

홀수인 서로 다른 소수 \(p, q\)에 대하여, \[\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}\] 또는 \[\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\] 형태로 쓸 수도 있음. 다음과 같은 보조 법칙이 성립 \[ \left(\frac{-1}{p}\right)= (-1)^\frac{p-1}{2},\;\;\; \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^\frac{p^2-1}{8}. \]

정리

\(p\nmid 2n\)인 모든 소수에 대하여 \(\left(\frac{n}{p}\right)=\chi(p)\)를 만족하는 준동형사상 \(\chi:(\mathbb{Z}/4n\mathbb{Z})^{\times}→\{1,−1\}\)가 존재한다


상호법칙의 증명


역사



메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련도서


리뷰, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'quadratic'}, {'LEMMA': 'residue'}]
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