3차원 공간의 회전과 SO(3)

 

 

 

로드리게스 공식

• 3차원에서 단위벡터 \((\omega _x,\omega _y,\omega _z)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현\[\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \\ (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \\ -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)\]
  
• 유도 http://www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html
  
• x,y,z 축을 중심으로 한 회전변환
  
  • x 축\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ 0 & \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{array} \right)\]
    
  • y 축\[\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{array} \right)\]
    
  • z 축\[\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) & 0 \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\]
    

 

 

구면과 SO(3)

• \(S^2=SO(3)/SO(2)\) homogeneous space
• \(L^2(S^2)\)에 작용하는 SO(3)의 표현을 통하여 구면조화함수(spherical harmonics) 이론을 전개할 수 있다
• http://books.google.com/books?id=bNytaQ8eon4C&pg=PA76&dq=sphere+so%283%29+homogeneous+space&hl=ko&ei=e7XZTr78K-KXiAKrwoGUCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDgQ6AEwAg#v=onepage&q=sphere%20so%283%29%20homogeneous%20space&f=false

 

 

사영표현(projective representation)

• 단위구면의 회전으로부터 stereographic projection 을 통해 다음과 같은 뫼비우스 변환 을 얻을 수 있다\[f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}\]
  여기서 \(\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\)
  
• 더 구체적으로 단위벡터 \((a,b,c)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다\[f(z)=\frac{z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}{z \left(b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}\]
  
• 벡터공간이 아닌 1차원 복소사영평면에 정의되므로, 사영표현(projective representation) 이다
• 벡터공간에 정의되는 표현을 얻으려면, Spin(3)와 파울리 행렬 의 도입이 필요하다

 

 

무한소 회전

• 리대수의 생성원\[L_{x}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\]\[L_{y}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\]\[L_{z}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\]
  
• \([L_{i},L_{j}]=\epsilon_{ijk}L_{k}\)
   
  
• 벡터의 외적(cross product)
  

 

양자역학의 각운동량 이론과의 관계

• 각운동량의 양자 이론 에서 중요한 역할을 한다

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

메모

• SO(3) 의 표현론
• SO(3,1) 로렌츠 군의 표현론
• 파울리 행렬, 디랙 행렬
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 벡터의 외적
• 해밀턴의 사원수(quarternions)
• 구면조화함수(spherical harmonics)

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMGIxYzExNmUtODM5Yy00NTMyLTgwYzctNWI2NjJlNzZhMWM5&sort=name&layout=list&num=50

수학용어번역

• 회전 - 대한수학회 수학용어집

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러_각도

 

 

 

 

관련도서

• Harmonic analysis on commutative spaces
• Groups and Symmetries http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-78865-4