"3차원 공간의 회전과 SO(3)"의 두 판 사이의 차이

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*  유도 [http://www.cs.berkeley.edu/%7Eug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html http:/][http://www.cs.berkeley.edu/%7Eug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html /www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html]<br>
 
*  유도 [http://www.cs.berkeley.edu/%7Eug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html http:/][http://www.cs.berkeley.edu/%7Eug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html /www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html]<br>
 
*  x,y,z 축을 중심으로 한 회전변환<br>
 
*  x,y,z 축을 중심으로 한 회전변환<br>
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**  x 축:<math>\left( \begin{array}{ccc}  1 & 0 & 0 \\  0 & \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\  0 & \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{array} \right)</math><br>
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**  y 축:<math>\left( \begin{array}{ccc}  \cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \\  0 & 1 & 0 \\  -\sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{array} \right)</math><br>
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**  z 축:<math>\left( \begin{array}{ccc}  \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) & 0 \\  \sin (\theta ) & \cos (\theta ) & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math><br>
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**  y 축:<math>\left( \begin{array}{ccc}  \cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \\  0 & 1 & 0 \\  -\sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{array} \right)
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**  z 축:<math>\left( \begin{array}{ccc}  \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) & 0 \\  \sin (\theta ) & \cos (\theta ) & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right)
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2013년 3월 10일 (일) 04:35 판

개요

 

 

 

로드리게스 공식

  • 3차원에서 단위벡터 \((\omega _x,\omega _y,\omega _z)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현\[\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \\ (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \\ -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)\]
  • 유도 http://www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html
  • x,y,z 축을 중심으로 한 회전변환
    • x 축\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ 0 & \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\theta+O(\theta^2)\]
    • y 축\[\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\theta+O(\theta^2) \]
    • z 축\[\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) & 0 \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\theta+O(\theta^2) \]

 

 

구면과 SO(3)

 

 

사영표현(projective representation)

  • 단위구면의 회전으로부터 stereographic projection 을 통해 다음과 같은 뫼비우스 변환 을 얻을 수 있다\[f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}\]
    여기서 \(\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\)
  • 더 구체적으로 단위벡터 \((a,b,c)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다\[f(z)=\frac{z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}{z \left(b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}\]
  • 벡터공간이 아닌 1차원 복소사영평면에 정의되므로, 사영표현(projective representation) 이다
  • 벡터공간에 정의되는 표현을 얻으려면, Spin(3)와 파울리 행렬 의 도입이 필요하다

 

 

무한소 회전

  • 리대수의 생성원\[L_{x}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\]\[L_{y}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\]\[L_{z}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\]
  • \([L_{i},L_{j}]=\epsilon_{ijk}L_{k}\)
     
  • 벡터의 외적(cross product)

 

양자역학의 각운동량 이론과의 관계

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • 회전 - 대한수학회 수학용어집


 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

관련도서

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