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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
* [[p진해석학(p-adic analysis)]] | * [[p진해석학(p-adic analysis)]] | ||
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* 실수체는 유리수체로부터 완비성을 갖도록 해줌으로써 구성됨 | * 실수체는 유리수체로부터 완비성을 갖도록 해줌으로써 구성됨 | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">유리수체에 정의할 수 있는 거리의 개념 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">유리수체에 정의할 수 있는 거리의 개념== |
* 실수에서의 절대값<br><math>|x|=0 \iff x=0</math><br><math>|xy|=|x||y|</math><br><math>|x+y|\leq |x|+|y|</math> (삼각부등식)<br> | * 실수에서의 절대값<br><math>|x|=0 \iff x=0</math><br><math>|xy|=|x||y|</math><br><math>|x+y|\leq |x|+|y|</math> (삼각부등식)<br> | ||
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| − | ==유리수의 p진 전개 | + | ==유리수의 p진 전개== |
* 주어진 소수 p에 대하여, 모든 유리수를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다 (p진법 전개)<br><math>\sum_{k=n}^{\infty}b_{k}p^{k}</math>, <math>b_k\in\{0,1,\cdots,p-1\}</math><br> | * 주어진 소수 p에 대하여, 모든 유리수를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다 (p진법 전개)<br><math>\sum_{k=n}^{\infty}b_{k}p^{k}</math>, <math>b_k\in\{0,1,\cdots,p-1\}</math><br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">실수의 십진법 표현과의 비교 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">실수의 십진법 표현과의 비교== |
* 오른쪽으로 무한개의 소수자리 | * 오른쪽으로 무한개의 소수자리 | ||
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| − | ==로랑급수와의 유사성 | + | ==로랑급수와의 유사성== |
* 로랑급수<br><math>\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots</math><br> 에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향<br> | * 로랑급수<br><math>\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots</math><br> 에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향<br> | ||
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| − | ==다항식의 해 | + | ==다항식의 해== |
* <math>\mathbb{Q}_{5}</math> 에서 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 두 해는 다음과 같다 <math>2+5+2\ 5^2+5^3+3\ 5^4+4\ 5^5+2\ 5^6+3\ 5^7+\cdots</math><br><math>x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots</math><br><math>x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots</math><br> | * <math>\mathbb{Q}_{5}</math> 에서 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 두 해는 다음과 같다 <math>2+5+2\ 5^2+5^3+3\ 5^4+4\ 5^5+2\ 5^6+3\ 5^7+\cdots</math><br><math>x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots</math><br><math>x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots</math><br> | ||
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| − | ==하위주제들 | + | ==하위주제들== |
* p-adic 디리클레 L-함수 | * p-adic 디리클레 L-함수 | ||
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| − | ==메모 | + | ==메모== |
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사== |
* 1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입<br> | * 1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들== |
* [[이진법]]<br> | * [[이진법]]<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">수학용어번역 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">수학용어번역== |
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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| − | ==사전 형태의 자료 | + | ==사전 형태의 자료== |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/P%EC%A7%84%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/P진수] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/P%EC%A7%84%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/P진수] | ||
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| − | ==관련도서 | + | ==관련도서== |
* [http://www.amazon.com/Numbers-Analysis-Zeta-Functions-Graduate-Mathematics/dp/0387960171 p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Function]<br> | * [http://www.amazon.com/Numbers-Analysis-Zeta-Functions-Graduate-Mathematics/dp/0387960171 p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Function]<br> | ||
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| − | ==관련논문 | + | ==관련논문== |
* [http://www.jstor.org/stable/2302393 The Solution of p-Adic Equations]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/2302393 The Solution of p-Adic Equations]<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 10:13 판
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개요
- 실수체는 유리수체로부터 완비성을 갖도록 해줌으로써 구성됨
- 그러나 실수체만이 유리수체의 완비화를 통해 얻어지는 것은 아님.
- 완비성을 갖도록 해주기 위해서는 먼저 유리수 사이에 거리의 개념이 필요
- 유리수체 위의 거리는 각 소수 p에 대응되는 거리의 개념과, 잘 알려진 (실수를 만드는) 절대값이 존재
유리수체에 정의할 수 있는 거리의 개념==
- 실수에서의 절대값
\(|x|=0 \iff x=0\)
\(|xy|=|x||y|\)
\(|x+y|\leq |x|+|y|\) (삼각부등식)
- p-adic 절대값
\(|x|_{p}=0 \iff x=0\)
\(|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}\)
\(|x+y|_{p}\leq |x|_{p}+|y|_{p}\) 뿐만 아니라, \(|x+y|_{p}\leq \operatorname{max} \{|x|_{p},|y|_{p}\}\)가 성립한다.
유리수의 p진 전개
- 주어진 소수 p에 대하여, 모든 유리수를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다 (p진법 전개)
\(\sum_{k=n}^{\infty}b_{k}p^{k}\), \(b_k\in\{0,1,\cdots,p-1\}\)
- 정수 k가 커질수록, \(p^{k}\) 는 p진체에서 점점 0에 가까워진다
- 2-adic field에서는, \(1+2+4+8+16+32 +\cdots = \cdots 11111_{2}=-1\) 이 성립함.
- 3-adic field에서는 \(2+2\cdot3+2\cdot3^{2}+2\cdot3^{2}\cdots=\cdots 22222_{3}=-1\)
- 7-adic field에서는 \(4+3\cdot 7 +3\cdot 49+\cdots=\cdots 3334_{7} = 1/2\)
실수의 십진법 표현과의 비교==
- 오른쪽으로 무한개의 소수자리
- 왼쪽으로 ...
로랑급수와의 유사성
- 로랑급수
\(\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots\)
에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향
다항식의 해
- \(\mathbb{Q}_{5}\) 에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 두 해는 다음과 같다 \(2+5+2\ 5^2+5^3+3\ 5^4+4\ 5^5+2\ 5^6+3\ 5^7+\cdots\)
\(x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots\)
\(x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots\)
하위주제들
- p-adic 디리클레 L-함수
- p-adic 감마함수
메모
역사==
- 1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입
- 1913년 헨젤 ㅋ뫼두소대갿
- 1920년 Hasse principle
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=p-adic
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- 수학사연표
관련된 항목들==
수학용어번역==
사전 형태의 자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number
- http://en.wikipedia.org/wiki/p-adic_analysis
- http://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(algebra)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value_(algebra)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrametric
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hensel's_lemma
- http://en.wikipedia.org/wiki/Witt_vector
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
관련도서
- p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Function
- Neal Koblitz, Springer, 1996
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문
- The Solution of p-Adic Equations
- H. S. Thurston, The American Mathematical Monthly, Vol. 50, No. 3 (Mar., 1943), pp. 142-148
- Pictures of Ultrametric Spaces, the p-Adic Numbers, and Valued Fields
-
- Jan E. Holly, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 8 (Oct., 2001), pp. 721-728
- Does σ∞ n=0 1/n! Really Converge? Infinite Series and p-adic Analysis
- [1]Edward B. Burger and Thomas StruppeckThe American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 7 (Aug. - Sep., 1996), pp. 565-577
- Visualizing the p-adic Integers
- Albert A. Cuoco, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 4 (Apr., 1991), pp. 355-364
- P-Adic Binomial Coefficients $\operatorname{MOD} P$
- Roger C. AlperinThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 8 (Oct., 1985), pp. 576-578
- The p-Adic Approach to Solutions of Equations Over Finite Fields
- Neal KoblitzThe American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 2 (Feb., 1980), pp. 115-118
- An Elementary Example of a Transcendental p-adic Number
- Glen H. Suter, Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 1 (Jan., 1976), p. 42
- The p-Adic Numbers of Hensel
- C. C. MacDuffee, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 8 (Oct., 1938), pp. 500-508
- 유리수체 위의 거리는 각 소수 p에 대응되는 거리의 개념과, 잘 알려진 (실수를 만드는) 절대값이 존재
- 실수에서의 절대값
\(|x|=0 \iff x=0\)
\(|xy|=|x||y|\)
\(|x+y|\leq |x|+|y|\) (삼각부등식) - p-adic 절대값
\(|x|_{p}=0 \iff x=0\)
\(|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}\)
\(|x+y|_{p}\leq |x|_{p}+|y|_{p}\) 뿐만 아니라, \(|x+y|_{p}\leq \operatorname{max} \{|x|_{p},|y|_{p}\}\)가 성립한다.
유리수의 p진 전개
- 주어진 소수 p에 대하여, 모든 유리수를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다 (p진법 전개)
\(\sum_{k=n}^{\infty}b_{k}p^{k}\), \(b_k\in\{0,1,\cdots,p-1\}\) - 정수 k가 커질수록, \(p^{k}\) 는 p진체에서 점점 0에 가까워진다
- 2-adic field에서는, \(1+2+4+8+16+32 +\cdots = \cdots 11111_{2}=-1\) 이 성립함.
- 3-adic field에서는 \(2+2\cdot3+2\cdot3^{2}+2\cdot3^{2}\cdots=\cdots 22222_{3}=-1\)
- 7-adic field에서는 \(4+3\cdot 7 +3\cdot 49+\cdots=\cdots 3334_{7} = 1/2\)
실수의 십진법 표현과의 비교==
- 오른쪽으로 무한개의 소수자리
- 왼쪽으로 ...
로랑급수와의 유사성
- 로랑급수
\(\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots\)
에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향
다항식의 해
- \(\mathbb{Q}_{5}\) 에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 두 해는 다음과 같다 \(2+5+2\ 5^2+5^3+3\ 5^4+4\ 5^5+2\ 5^6+3\ 5^7+\cdots\)
\(x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots\)
\(x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots\)
하위주제들
- p-adic 디리클레 L-함수
- p-adic 감마함수
메모
역사==
- 1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입
- 1913년 헨젤 ㅋ뫼두소대갿
- 1920년 Hasse principle
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=p-adic
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- 수학사연표
관련된 항목들==
수학용어번역==
사전 형태의 자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number
- http://en.wikipedia.org/wiki/p-adic_analysis
- http://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(algebra)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value_(algebra)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrametric
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hensel's_lemma
- http://en.wikipedia.org/wiki/Witt_vector
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
관련도서
- p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Function
- Neal Koblitz, Springer, 1996
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문
- The Solution of p-Adic Equations
- H. S. Thurston, The American Mathematical Monthly, Vol. 50, No. 3 (Mar., 1943), pp. 142-148
- Pictures of Ultrametric Spaces, the p-Adic Numbers, and Valued Fields
-
- Jan E. Holly, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 8 (Oct., 2001), pp. 721-728
- Does σ∞ n=0 1/n! Really Converge? Infinite Series and p-adic Analysis
- [1]Edward B. Burger and Thomas StruppeckThe American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 7 (Aug. - Sep., 1996), pp. 565-577
- Visualizing the p-adic Integers
- Albert A. Cuoco, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 4 (Apr., 1991), pp. 355-364
- P-Adic Binomial Coefficients $\operatorname{MOD} P$
- Roger C. AlperinThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 8 (Oct., 1985), pp. 576-578
- The p-Adic Approach to Solutions of Equations Over Finite Fields
- Neal KoblitzThe American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 2 (Feb., 1980), pp. 115-118
- An Elementary Example of a Transcendental p-adic Number
- Glen H. Suter, Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 1 (Jan., 1976), p. 42
- The p-Adic Numbers of Hensel
- C. C. MacDuffee, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 8 (Oct., 1938), pp. 500-508
\(\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots\)
에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향
\(x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots\)
\(x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots\)
- 1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입
- 1913년 헨젤 ㅋ뫼두소대갿
- 1920년 Hasse principle
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=p-adic
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- 수학사연표
관련된 항목들==
수학용어번역==
사전 형태의 자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number
- http://en.wikipedia.org/wiki/p-adic_analysis
- http://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(algebra)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value_(algebra)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrametric
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hensel's_lemma
- http://en.wikipedia.org/wiki/Witt_vector
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
관련도서
- p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Function
- Neal Koblitz, Springer, 1996
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문
- The Solution of p-Adic Equations
- H. S. Thurston, The American Mathematical Monthly, Vol. 50, No. 3 (Mar., 1943), pp. 142-148
- Pictures of Ultrametric Spaces, the p-Adic Numbers, and Valued Fields
-
- Jan E. Holly, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 8 (Oct., 2001), pp. 721-728
-
- Does σ∞ n=0 1/n! Really Converge? Infinite Series and p-adic Analysis
- [1]Edward B. Burger and Thomas StruppeckThe American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 7 (Aug. - Sep., 1996), pp. 565-577
- Visualizing the p-adic Integers
- Albert A. Cuoco, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 4 (Apr., 1991), pp. 355-364
- P-Adic Binomial Coefficients $\operatorname{MOD} P$
- Roger C. AlperinThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 8 (Oct., 1985), pp. 576-578
- The p-Adic Approach to Solutions of Equations Over Finite Fields
- Neal KoblitzThe American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 2 (Feb., 1980), pp. 115-118
- An Elementary Example of a Transcendental p-adic Number
- Glen H. Suter, Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 1 (Jan., 1976), p. 42
- The p-Adic Numbers of Hensel
- C. C. MacDuffee, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 8 (Oct., 1938), pp. 500-508