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| − | * 3차원에서 단위벡터 <math>(\omega _x,\omega _y,\omega _z)</math> 를 축으로 하여 <math>\theta</math> 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현:<math>\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \\ (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \\ -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)</math | + | * 3차원에서 단위벡터 <math>(\omega _x,\omega _y,\omega _z)</math> 를 축으로 하여 <math>\theta</math> 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현:<math>\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \\ (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \\ -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)</math> |
| − | * 유도 [http://www.cs.berkeley.edu/%7Eug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html http:/][http://www.cs.berkeley.edu/%7Eug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html /www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html] | + | * 유도 [http://www.cs.berkeley.edu/%7Eug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html http:/][http://www.cs.berkeley.edu/%7Eug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html /www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html] |
| − | * x,y,z 축을 중심으로 한 회전변환 | + | * x,y,z 축을 중심으로 한 회전변환 |
** x 축:<math>\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ 0 & \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{array} \right)=\left( | ** x 축:<math>\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ 0 & \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{array} \right)=\left( | ||
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| + | L_{1}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)</math> | ||
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| + | L_{3}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)</math> | ||
| + | * 교환자 관계식 | ||
| + | :<math>[L_{i},L_{j}]=\epsilon_{ijk}L_{k}</math> | ||
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| + | [L_1 , L_2 ] = L_3 \\ | ||
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* http://books.google.com/books?id=bNytaQ8eon4C&pg=PA76&dq=sphere+so%283%29+homogeneous+space&hl=ko&ei=e7XZTr78K-KXiAKrwoGUCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDgQ6AEwAg#v=onepage&q=sphere%20so%283%29%20homogeneous%20space&f=false | * http://books.google.com/books?id=bNytaQ8eon4C&pg=PA76&dq=sphere+so%283%29+homogeneous+space&hl=ko&ei=e7XZTr78K-KXiAKrwoGUCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDgQ6AEwAg#v=onepage&q=sphere%20so%283%29%20homogeneous%20space&f=false | ||
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| + | [\hat{x}_k , \hat{p}_l ] = \delta_{kl} \label{xp} | ||
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| + | * 연산자 $L_j =-\epsilon_{jkl} \hat{x}_k \hat{p}_l$를 생각하자. 즉, | ||
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| + | * 리대수의 $L^2(\mathbb{R}^3)$에서의 표현을 얻는다 | ||
| + | * 이러한 표현은 [[각운동량의 양자 이론]] 에서 중요한 역할을 한다 | ||
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| − | * 단위구면의 회전으로부터 [[평사 투영(stereographic projection)|stereographic projection]] 을 통해 다음과 같은 [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스 변환]] 을 얻을 수 있다:<math>f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}</math | + | * 단위구면의 회전으로부터 [[평사 투영(stereographic projection)|stereographic projection]] 을 통해 다음과 같은 [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스 변환]] 을 얻을 수 있다:<math>f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}</math> 여기서 <math>\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math> |
| − | * 더 구체적으로 단위벡터 <math>(a,b,c)</math> 를 축으로 하여 <math>\theta</math> 만큼 회전시키는 변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다:<math>f(z)=\frac{z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}{z \left(b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}</math | + | * 더 구체적으로 단위벡터 <math>(a,b,c)</math> 를 축으로 하여 <math>\theta</math> 만큼 회전시키는 변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다:<math>f(z)=\frac{z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}{z \left(b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}</math> |
* 벡터공간이 아닌 1차원 복소사영평면에 정의되므로, 사영표현(projective representation) 이다 | * 벡터공간이 아닌 1차원 복소사영평면에 정의되므로, 사영표현(projective representation) 이다 | ||
* 벡터공간에 정의되는 표현을 얻으려면, [[Spin(3)|Spin(3)와 파울리 행렬]] 의 도입이 필요하다 | * 벡터공간에 정의되는 표현을 얻으려면, [[Spin(3)|Spin(3)와 파울리 행렬]] 의 도입이 필요하다 | ||
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* [[수학사 연표]] | * [[수학사 연표]] | ||
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* SO(3) 의 표현론 | * SO(3) 의 표현론 | ||
* SO(3,1) 로렌츠 군의 표현론 | * SO(3,1) 로렌츠 군의 표현론 | ||
| − | * 파울리 행렬, | + | * 파울리 행렬, 디랙 행렬 |
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
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* [[구면조화함수(spherical harmonics)]] | * [[구면조화함수(spherical harmonics)]] | ||
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EA%B0%81%EB%8F%84 http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러_각도] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EA%B0%81%EB%8F%84 http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러_각도] | ||
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트== | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트== | ||
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==관련도서== | ==관련도서== | ||
2013년 4월 21일 (일) 05:38 판
개요
로드리게스 공식
- 3차원에서 단위벡터 \((\omega _x,\omega _y,\omega _z)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현\[\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \\ (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \\ -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)\]
- 유도 http://www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html
- x,y,z 축을 중심으로 한 회전변환
- x 축\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ 0 & \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\theta+O(\theta^2)\]
- y 축\[\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\theta+O(\theta^2) \]
- z 축\[\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) & 0 \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\theta+O(\theta^2) \]
무한소 회전
- 리대수의 생성원
\[ L_{1}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\] \[ L_{2}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\] \[ L_{3}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\]
- 교환자 관계식
\[[L_{i},L_{j}]=\epsilon_{ijk}L_{k}\] 풀어 쓰면, \[ [L_1 , L_2 ] = L_3 \\ [L_2 , L_3 ] = L_1 \\ [L_3 , L_1 ] = L_2 \]
구면과 SO(3)
- \(S^2=SO(3)/SO(2)\) homogeneous space
- \(L^2(S^2)\)에 작용하는 SO(3)의 표현을 통하여 구면조화함수(spherical harmonics) 이론을 전개할 수 있다
- http://books.google.com/books?id=bNytaQ8eon4C&pg=PA76&dq=sphere+so%283%29+homogeneous+space&hl=ko&ei=e7XZTr78K-KXiAKrwoGUCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDgQ6AEwAg#v=onepage&q=sphere%20so%283%29%20homogeneous%20space&f=false
함수공간에서의 표현
- $L^2(\mathbb{R}^3)$에서 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다
\[ [\hat{x}_k , \hat{p}_l ] = \delta_{kl} \label{xp} \] 여기서 $\hat{x}_k$는 $x_k$를 곱하는 연산자, $\hat p_k$는 미분연산자 $\partial_k:=\partial_{x_k}$
- 연산자 $L_j =-\epsilon_{jkl} \hat{x}_k \hat{p}_l$를 생각하자. 즉,
$$ L_1 =\hat{x}_3 \partial_2-\hat{x}_2 \partial_3 \\ L_2 =\hat{x}_1 \partial_3-\hat{x}_3 \partial_1 \\ L_3 =\hat{x}_2 \partial_1-\hat{x}_1 \partial_2 $$
- 이들은 다음의 교환자 관계식을 만족한다
\[[L_i , L_j ] = \epsilon_{ijk} L_k\]
- 리대수의 $L^2(\mathbb{R}^3)$에서의 표현을 얻는다
- 이러한 표현은 각운동량의 양자 이론 에서 중요한 역할을 한다
사영표현(projective representation)
- 단위구면의 회전으로부터 stereographic projection 을 통해 다음과 같은 뫼비우스 변환 을 얻을 수 있다\[f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}\] 여기서 \(\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\)
- 더 구체적으로 단위벡터 \((a,b,c)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다\[f(z)=\frac{z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}{z \left(b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}\]
- 벡터공간이 아닌 1차원 복소사영평면에 정의되므로, 사영표현(projective representation) 이다
- 벡터공간에 정의되는 표현을 얻으려면, Spin(3)와 파울리 행렬 의 도입이 필요하다
역사
메모
- SO(3) 의 표현론
- SO(3,1) 로렌츠 군의 표현론
- 파울리 행렬, 디랙 행렬
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
수학용어번역
- 회전 - 대한수학회 수학용어집
사전 형태의 자료
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련도서
- Harmonic analysis on commutative spaces
- Groups and Symmetries http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-78865-4