드람 코호몰로지

수학노트
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개요

  • 드람 코호몰로지 = closed forms modulo exact forms
  • 드람 정리
    • 드람 코호몰로지와 싱귤러 호몰로지는 서로 쌍대 관계에 있으며, 이 때의 pairing은 미분형식의 cycle 위에서의 적분으로 주어진다
    • (또는) 드람 코호몰로지(해석적인 불변량)와 싱귤러 코호몰로지(위상적 불변량)는 동형이다
  • 훗날 sheaf 코호몰로지 이론으로 발전

 

 

  • 한 점이 빠진 유클리드 공간 의 드람 코호몰로지\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^n \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}\]
  • n=3 인 경우\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^3 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,2 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,2 \end{cases}\]
    역제곱 벡터장 항목 참조
  • n=2 인 경우\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,1 \end{cases}\]
    각원소 벡터장 항목 참조


드람-호지 이론

  • finding a canonical representative in a given cohomology class
  • $M$ : 리만 다양체, $g$는 메트릭
  • $A^k(M)$ : smooth $k$-forms on M
  • M이 컴팩트이고 유향이면, $A^k(M)$에 다음과 같이 정의되는 내적이 존재한다

$$ \langle \phi, \psi \rangle:=\int_{M}g(\phi,\psi)dV $$

  • 라플라시안
  • harmonic forms
    • metric independence
  • 조화 호지 분해 정리
    • compact oriented 리만 다양체 M에 대하여 다음의 직교 분해가 존재한다

$$ A^k(M)=H_{\Delta}^k(M)\oplus dA^{k-1}(M)\oplus d^{*}A^{k+1}(M) $$ 여기서 $H_{\Delta}^k(M)$는 space of harmonic forms

  • compact complex Kahler 다양체에의 응용
    • Hodge structure

 

역사

  • 1931 드람
  • Hodge
    • Hodge decomposition
      • graduation associated to the so-called "Hodge filtration" on the differential forms of the manifold
  • Delbeault
    • cohomology of sheaves of holomorphic forms
  • Kodaira
    • vanishing theorem
    • analytic proof of Lefschetz theorem on hyperplane sections of a projective manifold
    • embedding theorem
  • Leray
    • sheaf cohomology using fine resolutions
  • Grothendieck
    • sheaf cohomology in algebraic geometry
  • Deligne
    • existence of a mixed Hodge structure on the cohomology of algebraic varieties
  • 미분형식
  • 수학사 연표

   

메모

 

 

관련된 항목들

 

사전 형태의 자료


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