각원소 벡터장

수학노트
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개요

  • 원점을 중심으로 하고, 반지름이 r 인 원 \(x^2 + y^2=r^2\) 위에서 각도함수를 연속적으로 확장하는 것은 불가능
  • 1-미분형식 \(d\theta\) 는 단위원위에서 정의되며 다음과 같이 쓸 수 있다 \[d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)\]
  • 이 미분형식을 각원소 벡터장 이라 부른다
  • 각도함수는 이 미분형식의 원 위에서의 선적분으로 표현된다 \[\theta =\int_C \,\frac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2} \]


미분형식과 코호몰로지

  • 원 위의 점 \((x,y)\) 에서 각도함수 \(\theta\) 의 값은 다음 관계를 만족시킴 \[\theta=\arctan{\frac{y}{x}}\]
  • 따라서 미분형식들 사이의 다음관계를 얻는다 \[d\theta=\frac{-y dx +x dy}{x^2+y^2}=\frac{-y dx +x dy}{r^2}\]
  • 이 미분형식은 \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\) 에서 정의된 미분형식이다
  • \(d\theta\) 는 닫힌미분형식이지만, 완전미분형식은 아니며, $S^1$과 \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\) 의 드람코호몰로지의 생성원이다
  • http://planetmath.org/encyclopedia/ExampleOfDeRhamCohomology.html


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