역제곱 벡터장

개요

n 차원에서 정의된 벡터장:<math>\mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}</math>
중력장과 전자기장에서 중요한 역할
<math>\phi(\mathbf{r})=-\frac{1}{|\mathbf{r}|}</math> 를 포텐셜로 가짐
<math>\nabla\times\mathbf{F}=0</math>
<math>\nabla\cdot\mathbf{F}=0</math>

3차원에서의 벡터장을 생각하자
바깥쪽으로 향이 주어진 단위구면 S에 대하여, 다음을 얻는다:<math>\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi</math>
(정리):<math>\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}</math> 를 만족시키는 벡터장 <math>\mathbf{G}</math>가 존재하지 않는다 (증명):<math>\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}</math> 를 만족시키는 벡터장 <math>\mathbf{G}</math> 를 가정하자.스토크스 정리 를 적용하면, <math>\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{G})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf G\cdot d\mathbf{r}=0</math> 을 얻는다. 그러나:<math>\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi</math> 이므로 모순. ■
<math>\nabla\cdot\mathbf{F}=0</math> 이라고 해서 <math>\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}</math> 를 만족시키는 벡터장 <math>\mathbf{G}</math>가 반드시 존재하는 것은 아니다
obstruction : second homotopy group, second cohomology group