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| + | * n=3 인 경우:<math>H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^3 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,2 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,2 \end{cases}</math>[[역제곱 벡터장]] 항목 참조 | ||
| + | * n=2 인 경우:<math>H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,1 \end{cases}</math>[[각원소 벡터장]] 항목 참조 | ||
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* http://www.amazon.com/Differential-Forms-Singular-Varieties-Mathematics/dp/0849337399 | * http://www.amazon.com/Differential-Forms-Singular-Varieties-Mathematics/dp/0849337399 | ||
* [http://www.math.upenn.edu/%7Esiegelch/Notes/Cattani1.pdf http://www.math.upenn.edu/~siegelch/Notes/Cattani1.pdf] | * [http://www.math.upenn.edu/%7Esiegelch/Notes/Cattani1.pdf http://www.math.upenn.edu/~siegelch/Notes/Cattani1.pdf] | ||
* Variations on the de Rham Complex Michael Eastwood http://www.ams.org/notices/199911/fea-eastwood.pdf | * Variations on the de Rham Complex Michael Eastwood http://www.ams.org/notices/199911/fea-eastwood.pdf | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology | * http://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology | ||
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| − | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | |
| + | * De Rham Cohomology and Harmonic Differential Forms. 2005. In Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 83–103. Universitext. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-28891-0_2. | ||
| − | * | + | ==메타데이터== |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1179446 Q1179446] |
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'de'}, {'LOWER': 'rham'}, {'LEMMA': 'cohomology'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:03 기준 최신판
개요
- 드람 코호몰로지 = closed forms modulo exact forms
- 드람 정리
- 드람 코호몰로지와 싱귤러 호몰로지는 서로 쌍대 관계에 있으며, 이 때의 pairing은 미분형식의 cycle 위에서의 적분으로 주어진다
- (또는) 드람 코호몰로지(해석적인 불변량)와 싱귤러 코호몰로지(위상적 불변량)는 동형이다
- 훗날 sheaf 코호몰로지 이론으로 발전
예
- 한 점이 빠진 유클리드 공간 의 드람 코호몰로지\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^n \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}\]
- n=3 인 경우\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^3 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,2 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,2 \end{cases}\]역제곱 벡터장 항목 참조
- n=2 인 경우\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,1 \end{cases}\]각원소 벡터장 항목 참조
드람-호지 이론
- finding a canonical representative in a given cohomology class
- \(M\) : 리만 다양체, \(g\)는 메트릭
- \(A^k(M)\) : smooth \(k\)-forms on M
- M이 컴팩트이고 유향이면, \(A^k(M)\)에 다음과 같이 정의되는 내적이 존재한다
\[ \langle \phi, \psi \rangle:=\int_{M}g(\phi,\psi)dV \]
- 라플라시안
- harmonic forms
- metric independence
- 조화 호지 분해 정리
- compact oriented 리만 다양체 M에 대하여 다음의 직교 분해가 존재한다
\[ A^k(M)=H_{\Delta}^k(M)\oplus dA^{k-1}(M)\oplus d^{*}A^{k+1}(M) \] 여기서 \(H_{\Delta}^k(M)\)는 space of harmonic forms
- compact complex Kahler 다양체에의 응용
- Hodge structure
역사
- 1931 드람
- Hodge
- Hodge decomposition
- graduation associated to the so-called "Hodge filtration" on the differential forms of the manifold
- Hodge decomposition
- Delbeault
- cohomology of sheaves of holomorphic forms
- Kodaira
- vanishing theorem
- analytic proof of Lefschetz theorem on hyperplane sections of a projective manifold
- embedding theorem
- Leray
- sheaf cohomology using fine resolutions
- Grothendieck
- sheaf cohomology in algebraic geometry
- Deligne
- existence of a mixed Hodge structure on the cohomology of algebraic varieties
- 미분형식
- 수학사 연표
메모
- http://www.amazon.com/Differential-Forms-Singular-Varieties-Mathematics/dp/0849337399
- http://www.math.upenn.edu/~siegelch/Notes/Cattani1.pdf
- Variations on the de Rham Complex Michael Eastwood http://www.ams.org/notices/199911/fea-eastwood.pdf
관련된 항목들
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- De Rham Cohomology and Harmonic Differential Forms. 2005. In Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 83–103. Universitext. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-28891-0_2.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q1179446
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'de'}, {'LOWER': 'rham'}, {'LEMMA': 'cohomology'}]