"등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리"의 두 판 사이의 차이
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<math>\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p} = \sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}={1\over 2 }\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p) - \chi_1(p)}{p} \approx {1\over 2 }(\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p)}{p} - \sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_1(p)}{p}})</math> | <math>\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p} = \sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}={1\over 2 }\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p) - \chi_1(p)}{p} \approx {1\over 2 }(\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p)}{p} - \sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_1(p)}{p}})</math> | ||
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우변의 첫번째 항은 <math>1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty</math> 에 의해 발산함을 안다. | 우변의 첫번째 항은 <math>1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty</math> 에 의해 발산함을 안다. | ||
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| − | <h5>디리클레 L-함수</h5> | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">디리클레 L-함수</h5> |
* 리만제타함수의 일반화 | * 리만제타함수의 일반화 | ||
| − | * | + | * 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의함.<br><math>L(\chi,s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math><br> |
* 함수방정식<br><math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)</math><br><math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math><br> | * 함수방정식<br><math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)</math><br><math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math><br> | ||
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<h5>메모</h5> | <h5>메모</h5> | ||
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<math>\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots</math> | <math>\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots</math> | ||
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<math>\log(1+x) \approx x</math> | <math>\log(1+x) \approx x</math> | ||
| − | <math>\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s}) | + | <math>\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}</math> |
<math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty</math> | <math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty</math> | ||
2009년 10월 16일 (금) 18:27 판
간단한 소개
(정리) 디리클레, 1837
자연수 a, b 가 서로 소이면 등차수열 {an+b} (n=0,1,2,…) 는 무한히 많은 소수를 포함한다
- 4로 나눈 나머지가 1인 소수는 무한히 많다
- 7로 나눈 나머지가 5인 소수는 무한히 많다
- h 와 k 가 서로 소일 때, h로 나눠서 k가 남는 소수는 무한히 많다.
증명의 재료
- 푸리에 해석(군표현론) 과 L-function 의 아이디어를 결합시킴.
간략한 아이디어 소개
\(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\) 임은 이미 소수와 리만제타함수 를 통해 알고 있음.
이 사실은 소수가 무한히 많음을 말해줌.
이 아이디어와 군표현론의 아이디어를 결합.
준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 는 두 가지 경우가 가능.
\(\chi_0(3)=1\) 인 경우
\(\chi_1(3)=-1\) 인 경우
자연수 위에 정의된 함수 \(f\) 가 있어, 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
\(f(n) = 1 \mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} \)
\(f(n) = 0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4}\)
\(f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}\) 을 만족한다.
\(\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p} = \sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}={1\over 2 }\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p) - \chi_1(p)}{p} \approx {1\over 2 }(\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p)}{p} - \sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_1(p)}{p}})\)
우변의 첫번째 항은 \(1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty\) 에 의해 발산함을 안다.
우변의 두번째 항은 \(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)에 의해 수렴함을 안다. 이는 라이프니츠 급수,
따라서 4로 나누어 나머지가 3이 되는 소수가 무한함을 알 수 있음
마찬가지로 f를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있음.
군표현론
- \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)는 유한생성아벨군의 기본정리에 의하여, 순환군의 곱으로 분해할 수 있음.
- 순환군의 표현론 참조
디리클레 L-함수
- 리만제타함수의 일반화
- 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.
\(L(\chi,s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1\) - 함수방정식
\(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)\)
\(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\)
s=1에서의 값
\(L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/N})\)
\(\tau_a(\chi)=\sum_{(j,N)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/N}\)
\(\tau(\chi)=\tau_1(\chi)\)
가우스합 항목 참조
\(L(1,\chi)= \begin{cases} \frac{\pi\tau(\chi)}{N^2}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a) a & \mbox{ if }\chi\text { :odd} \\ -\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{N}}) & \mbox{ if } \chi\text { :even}} \end{cases}\)
메모
\(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots\)
\(\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}\)
\(\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\)
\(\log(1+x) \approx x\)
\(\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}\)
\(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\)
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 다른 주제들
관련도서 및 추천도서
- Introduction to Analytic Number Theory (Undergraduate Texts in Mathematics)
- Tom M. Apostol
- 도서내검색
- 도서검색
참고할만한 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/디리클레
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://viswiki.com/en/
- http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
- http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
- 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
- 대한수학회 수학 학술 용어집
블로그
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- 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=