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| − | * [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] | + | * [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] |
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| + | 실 이차 수체(real quadratic field) <math>K</math>에 대하여, 다음 등식이 성립한다. | ||
:<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}</math> | :<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}</math> | ||
| − | <math>h_K</math> | + | <math>h_K</math> 는 class number, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant), <math>\epsilon_K</math>은 fundamental unit ([[실 이차 수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit|실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit]] 참조) |
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| − | * <math>[K : \mathbb{Q}] =6</math>, | + | * <math>[K : \mathbb{Q}] =6</math>, <math>r_1=0, r_2=3</math>이므로, <math>\mathfrak{O}_K^{*}</math>의 rank는 2이다 |
| − | * fundamental units | + | * fundamental units <math>1+\zeta _7</math>와 <math>1+\zeta _7+\zeta _7^2</math> |
| − | * regulator <math>R_{K}</math>는 2×3행렬:<math>\left( \begin{array}{ccc} \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\ \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right)</math | + | * regulator <math>R_{K}</math>는 2×3행렬:<math>\left( \begin{array}{ccc} \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\ \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right)</math> 의 minor를 계산하여 얻을 수 있다 |
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* [[데데킨트 제타함수]] | * [[데데킨트 제타함수]] | ||
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| − | ==사전 | + | ==사전 형태의 자료== |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
2014년 7월 10일 (목) 14:51 판
개요
- 수체(number field)K의 대수적정수 \(\mathfrak{O}_K\) unit의 rank 에 대한 정리
- \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\) 인 경우, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 \(r_1+r_2-1\)이다
실 이차수체의 경우
- \([K : \mathbb{Q}] =2\), \(r_1=2, r_2=0\)이므로, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 1이다
- \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 생성원 \(\epsilon_K\)을 fundamental unit이라 하며 펠 방정식의 해를 구하면 얻어진다
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
- 정리 (디리클레 class number 공식)
실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다. \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\]
\(h_K\) 는 class number, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(\epsilon_K\)은 fundamental unit (실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 참조)
원분체의 예
- 원분체 (cyclotomic field)
- \(K=\mathbb{Q}\left(\zeta _7\right)\)
- \([K : \mathbb{Q}] =6\), \(r_1=0, r_2=3\)이므로, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 2이다
- fundamental units \(1+\zeta _7\)와 \(1+\zeta _7+\zeta _7^2\)
- regulator \(R_{K}\)는 2×3행렬\[\left( \begin{array}{ccc} \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\ \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right)\] 의 minor를 계산하여 얻을 수 있다
- \(R_K\approx 2.10182\cdots\)
higher regulator
- 데데킨트 제타함수에서 가져옴
- 수체 $K$, \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
- 다음이 성립한다
\[\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\] 여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 $\mathbb{Q}$-기저, $D$는 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm) 함수
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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