"랜덤워크(random walk)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | ||
| − | + | * [[랜덤워크(random walk)|랜덤워크(randon walk)]]<br> | |
| 21번째 줄: | 21번째 줄: | ||
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_ruin http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler's_ruin]<br> | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_ruin http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler's_ruin]<br> | ||
* <math>n_1,n_2</math>만큼의 돈을 가진 사람 A,B간의 게임<br> | * <math>n_1,n_2</math>만큼의 돈을 가진 사람 A,B간의 게임<br> | ||
| − | * 한번의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두고, | + | * 일정한 확률로 승패가 결정되는 게임을 둘 중 한명이 파산할 때까지 반복<br> |
| − | + | ||
| + | |||
| + | |||
| + | (정리) | ||
| + | |||
| + | 한번의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두고, A,B가 이길 확률은 각각 다음과 같다. | ||
| + | |||
| + | <math>p\neq \frac{1}{2}</math> 일 때, | ||
| + | |||
| + | <math>P_A= \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>P_B= \frac{(\frac{q}{p})^{n_1}-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>p= \frac{1}{2}</math>일 때, | ||
| + | |||
| + | <math>P_A= \frac{{n_1}}{{n_1+n_2}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>P_A= \frac{{n_2}}{{n_1+n_2}}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| − | ( | + | (증명) |
A,B가 가진돈을 합하여 <math>n_1+n_2</math>, 상수이다. | A,B가 가진돈을 합하여 <math>n_1+n_2</math>, 상수이다. | ||
| − | A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, | + | A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, '''파산할 확률'''을 <math>P_n</math>이라 두자. |
점화식 <math>P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}</math>이 성립한다.<math>P_0=1, P_{n_1+n_2}=0</math>. | 점화식 <math>P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}</math>이 성립한다.<math>P_0=1, P_{n_1+n_2}=0</math>. | ||
| − | [[선형점화식]]이므로, 이차방정식 <math>px^2-x+q=0</math> | + | [[선형점화식]]이므로, 이차방정식 <math>px^2-x+q=0</math>의 해를 구하면, 1과 <math>q/p</math> 를 얻는다. |
| + | |||
| + | <math>p\neq \frac{1}{2}</math> 이면, <math>P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n</math> 의 꼴로 | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
2010년 2월 12일 (금) 12:16 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 도박사의 파산(gambler's ruin)
- 브라운 운동
도박사의 파산
- http://math.ucsd.edu/~anistat/gamblers_ruin.html
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler's_ruin
- \(n_1,n_2\)만큼의 돈을 가진 사람 A,B간의 게임
- 일정한 확률로 승패가 결정되는 게임을 둘 중 한명이 파산할 때까지 반복
(정리)
한번의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두고, A,B가 이길 확률은 각각 다음과 같다.
\(p\neq \frac{1}{2}\) 일 때,
\(P_A= \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\)
\(P_B= \frac{(\frac{q}{p})^{n_1}-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\)
\(p= \frac{1}{2}\)일 때,
\(P_A= \frac[[:틀:N 1]][[:틀:N 1+n 2]]\)
\(P_A= \frac[[:틀:N 2]][[:틀:N 1+n 2]]\)
(증명)
A,B가 가진돈을 합하여 \(n_1+n_2\), 상수이다.
A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, 파산할 확률을 \(P_n\)이라 두자.
점화식 \(P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}\)이 성립한다.\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\).
선형점화식이므로, 이차방정식 \(px^2-x+q=0\)의 해를 구하면, 1과 \(q/p\) 를 얻는다.
\(p\neq \frac{1}{2}\) 이면, \(P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n\) 의 꼴로
동전던지기
- 앞뒷면이 나올 확률을 가진 동전
- 원점에서 출발하여 1차원 격자점에서 동전던지기의 결과를 따라 주변의 격자점으로 움직일 때, 다시 원점으로 돌아올 확률과 기대값
- nearest-neighbor random walk
- 앞면이 나올 확률은 p, 왼쪽으로 이동
- 뒷변이 나올 확률은 q, 오른족으로 이동
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Coin_flipping
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=gambler+ruin
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)