"르장드르 카이 함수"의 두 판 사이의 차이

2009년 11월 19일 (목) 12:06 판

\(\chi_\nu(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^\nu}\)

\(\chi_\nu(z) = \frac{1}{2}\left[\operatorname{Li}_\nu(z) - \operatorname{Li}_\nu(-z)\right]\)

\(\chi_2(i) = iG\), \(G\)는 카탈란 상수

\(\chi_2(\sqrt2 -1) = \frac{\pi^2}{16}-\frac{\ln^2(\sqrt{2}+1)}{4}\)

\(\chi_2(\frac{\sqrt5 -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}\)

\(\chi_2(\sqrt5 -2}) = \frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}\)

\(\chi_2(-1) = -\frac{\pi^2}{8}\)

\(\chi_2(1) = \frac{\pi^2}{8}\)

\(\chi_2(\frac{\sqrt5 -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}\)

Dilogarithm 함수에서 얻어진 다음 두 결과를 이용
\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\chi_2(\sqrt2 -1) = \frac{\pi^2}{16}-\frac{\ln^2(\sqrt{2}+1)}{4}\)

Dilogarithm 함수에서 얻은 다음 결과를 이용
\(2[\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)-\mbox{Li}_2(\sqrt2 -1)]=\ln^2(\sqrt{2}-1)-\frac{\pi^2}{4}=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}\)

\(\chi_2(\sqrt5 -2}) = \frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}\)

디리클레 베타함수
\(\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}\)
적분쇼
\(\int_0^{\pi}\frac{x\cos x}{1+\sin^2 x}dx=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}\)

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+<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
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 * [[다이로그 함수(dilogarithm)|Dilogarithm 함수]]<br>
 *  polylogarithm 함수<br>