"르장드르 타원곡선"의 두 판 사이의 차이

2013년 4월 8일 (월) 02:38 판

$$y^2=x(x-1)(x-t) \quad t \in \mathbb{C}$$

주기적분으로부터 '기하학에서 오는' 선형미분방정식의 예를 얻는다
호지 구조의 variation에 해당하는 간단한 예
'characterize the linear differential equations that come from the cohomology of some family of algebraic varieties'는 수학의 중요한 문제

타원곡선의 주기를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 $t \in \mathbb{C}$의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다

$$ \Omega_1(t)=\int_{t}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \\ \Omega_2(t)=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} $$

$$ z(1-z)\frac{d^2 \Omega}{dz^2}+(1-2z)\frac{d\Omega}{dz}-\frac{1}{4}\Omega = 0 $$

$$ \Omega_{2}(z)=\pi\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z) $$

$$ \int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k), \quad \lambda=k^2 $$

Totaro, Burt. 2007. “Euler and Algebraic Geometry.” Bulletin of the American Mathematical Society 44 (4): 541–559. doi:10.1090/S0273-0979-07-01178-0.

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 * 다음의 타원곡선들을 르장드르의 타원곡선 모임이라 함
 $$y^2=x(x-1)(x-t) \quad t \in \mathbb{C}$$
-* 이 때 [[타원곡선의 주기]]를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 $t \in \mathbb{C}$의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다
+* 주기적분으로부터 '기하학에서 오는' 선형미분방정식의 예를 얻는다
+* 호지 구조의 variation에 해당하는 간단한 예
+* 'characterize the linear differential equations that come from the cohomology of some family of algebraic varieties'는 수학의 중요한 문제
+==피카르-푸크스 미분방정식==
+* [[타원곡선의 주기]]를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 $t \in \mathbb{C}$의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다
 $$
 \Omega_1(t)=\int_{t}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \\
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 \int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k), \quad \lambda=k^2
 $$
+==메모==
+* http://www.math.columbia.edu/~masdeu/files/notes/FallSeminar.pdf
+* https://www.math.lsu.edu/~hoffman/tex/talks/taiwan/arithPF.pdf