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==개요==
 
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* 다음의 타원곡선들을 르장드르의 타원곡선 모임이라 함
 
* 다음의 타원곡선들을 르장드르의 타원곡선 모임이라 함
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$$y^2=x(x-1)(x-t), \quad t \in \mathbb{C}$$
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:<math>y^2=x(x-1)(x-t), \quad t \in \mathbb{C}</math>
 
* 주기적분으로부터 '기하학에서 오는' 선형미분방정식의 예를 얻는다
 
* 주기적분으로부터 '기하학에서 오는' 선형미분방정식의 예를 얻는다
 
* 호지 구조의 variation에 해당하는 간단한 예
 
* 호지 구조의 variation에 해당하는 간단한 예
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==피카르-푸크스 미분방정식==
 
==피카르-푸크스 미분방정식==
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* [[타원곡선의 주기]]를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 $t \in \mathbb{C}$의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다
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* [[타원곡선의 주기]]를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 <math>t \in \mathbb{C}</math>의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다
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\Omega_1(t)=\int_{t}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \\
 
\Omega_1(t)=\int_{t}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \\
 
\Omega_2(t)=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}}
 
\Omega_2(t)=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}}
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* 이들은 다음의 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]을 만족한다
 
* 이들은 다음의 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]을 만족한다
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z(1-z)\frac{d^2 \Omega}{dz^2}+(1-2z)\frac{d\Omega}{dz}-\frac{1}{4}\Omega = 0
 
z(1-z)\frac{d^2 \Omega}{dz^2}+(1-2z)\frac{d\Omega}{dz}-\frac{1}{4}\Omega = 0
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* [[오일러-가우스 초기하함수2F1]]로 표현된다
 
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\Omega_{2}(z)=\pi\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)
 
\Omega_{2}(z)=\pi\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
 
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
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\int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k), \quad \lambda=k^2
 
\int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k), \quad \lambda=k^2
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* [[리만 곡면에서의 호지 이론(Hodge theory)]]
 
* [[리만 곡면에서의 호지 이론(Hodge theory)]]
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
 
==리뷰, 에세이, 강의노트==
 
* Totaro, Burt. 2007. “Euler and Algebraic Geometry.” Bulletin of the American Mathematical Society 44 (4): 541–559. doi:[http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-07-01178-0  10.1090/S0273-0979-07-01178-0].
 
* Totaro, Burt. 2007. “Euler and Algebraic Geometry.” Bulletin of the American Mathematical Society 44 (4): 541–559. doi:[http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-07-01178-0  10.1090/S0273-0979-07-01178-0].
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q6517880 Q6517880]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'legendre'}, {'LEMMA': 'form'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:26 기준 최신판

개요

  • 다음의 타원곡선들을 르장드르의 타원곡선 모임이라 함

\[y^2=x(x-1)(x-t), \quad t \in \mathbb{C}\]

  • 주기적분으로부터 '기하학에서 오는' 선형미분방정식의 예를 얻는다
  • 호지 구조의 variation에 해당하는 간단한 예
  • 'characterize the linear differential equations that come from the cohomology of some family of algebraic varieties'는 수학의 중요한 문제


피카르-푸크스 미분방정식

  • 타원곡선의 주기를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 \(t \in \mathbb{C}\)의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다

\[ \Omega_1(t)=\int_{t}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \\ \Omega_2(t)=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \]

\[ z(1-z)\frac{d^2 \Omega}{dz^2}+(1-2z)\frac{d\Omega}{dz}-\frac{1}{4}\Omega = 0 \]

\[ \Omega_{2}(z)=\pi\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z) \]

\[ \int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k), \quad \lambda=k^2 \]


메모


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • the Legendre family of elliptic curves
  • family - 대한수학회 수학용어집


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Totaro, Burt. 2007. “Euler and Algebraic Geometry.” Bulletin of the American Mathematical Society 44 (4): 541–559. doi:10.1090/S0273-0979-07-01178-0.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'legendre'}, {'LEMMA': 'form'}]
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