르장드르 타원곡선

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 12월 14일 (토) 05:36 판
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개요

  • 다음의 타원곡선들을 르장드르의 타원곡선 모임이라 함

$$y^2=x(x-1)(x-t), \quad t \in \mathbb{C}$$

  • 주기적분으로부터 '기하학에서 오는' 선형미분방정식의 예를 얻는다
  • 호지 구조의 variation에 해당하는 간단한 예
  • 'characterize the linear differential equations that come from the cohomology of some family of algebraic varieties'는 수학의 중요한 문제


피카르-푸크스 미분방정식

  • 타원곡선의 주기를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 $t \in \mathbb{C}$의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다

$$ \Omega_1(t)=\int_{t}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \\ \Omega_2(t)=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} $$

$$ z(1-z)\frac{d^2 \Omega}{dz^2}+(1-2z)\frac{d\Omega}{dz}-\frac{1}{4}\Omega = 0 $$

$$ \Omega_{2}(z)=\pi\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z) $$

$$ \int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k), \quad \lambda=k^2 $$


메모


관련된 항목들


수학용어번역

  • the Legendre family of elliptic curves
  • family - 대한수학회 수학용어집



에세이

  • Totaro, Burt. 2007. “Euler and Algebraic Geometry.” Bulletin of the American Mathematical Society 44 (4): 541–559. doi:10.1090/S0273-0979-07-01178-0.