리만 곡면에서의 호지 이론(Hodge theory)

개요

• X : genus 가 g인 컴팩트 리만곡면
• \(H^{1}(X;\mathbb{C})\) : 복소 1-form에 대한 드람 코호몰로지, 차원이 2g인 복소벡터공간
• \(\Omega^{1,0}\) : space of holomorphic differential 1-forms, 차원이 g인 복소벡터공간
• \(\Omega^{0,1}\) : space of anti-holomorphic differential 1-forms, 차원이 g인 복소벡터공간
• 호지 분해(Hodge decomposition)

\[H^{1}(X;\mathbb{C})=\Omega^{1,0}\oplus \Omega^{0,1}\]

• \(\Lambda\) : rank 2g period lattice

에르미트 형식(Hermitian form)

• \(\Omega^{1,0}\) 에 다음과 같이 정의되는 non-degenerate Hermitian form이 존재한다\[\omega,\eta\in \Omega^{1,0}\] 에 대하여, \((\omega,\eta)=i\int_{X} \omega \wedge \bar{\eta}\)
  
• \(dz\wedge d\bar{z}=-2i dx\wedge dy\)
• 이 에르미트 구조와 호몰로지의 rank 2g 격자가 리만 곡면을 결정

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• Henkin, Gennadi M., and Peter L. Polyakov. “Explicit Hodge Decomposition on Riemann Surfaces.” arXiv:1507.03272 [math], July 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03272.
• http://math.stackexchange.com/questions/41199/differential-forms
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 아벨-야코비 정리
• 드람 코호몰로지
• 리만-로흐 정리

수학용어번역

• Hodge - 발음사전 Forvo
  • 발음은 '하지'에 가깝다

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Claire Voisin Hodge theory and the topology of compact Kähler and complex projective manifolds

관련논문

• Gennadi M. Henkin, Peter L. Polyakov, Explicit Hodge decomposition on Riemann surfaces, arXiv:1507.03272[math.CV], July 12 2015, http://arxiv.org/abs/1507.03272v2