맥스웰 방정식
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개요
맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (미분)
- 전기장에 대한 가우스의 법칙
\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\) - 자기장에 대한 가우스의 법칙
\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) - 패러데이의 법칙
\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\)
- 앙페르 법칙
\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \)
- 단위는 MKS system of units
맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (적분)
- 전기장에 대한 가우스의 법칙
\(\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S} = \frac {Q} {\varepsilon_0}\) - 자기장에 대한 가우스의 법칙
\(\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0\) - 패러데이의 법칙
\(\int_{C} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{r} =-\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} \)
- 앙페르 법칙
\(\int_{C} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{r} =\mu_0(I+\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S})\)
- 단위는 MKS system of units
기호
- 메트릭 η = diag(+1, −1, −1, −1)
- 벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})\)
- 스칼라 포텐셜 \(\phi(x,y,z,t)\)
- 전기장 \(\mathbf{E}(x,y,z,t)=(E_x,E_y,E_z)\)
- 자기장 \(\mathbf{B}(x,y,z,t)=(B_x,B_y,B_z)\)
- 전하 밀도 (스칼라) \(\rho(x,y,z,t)\)
- 전류 밀도 \(\mathbf{J}(x,y,z,t)=(J_x,J_y,J_z)\)
- \(\mu_0\)
- \(\varepsilon_0\) vacuum permittivity
- \(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\)
- 포벡터
- \(x^{\alpha}= \left(ct,x,y,z\right) \)
- \( j^{\alpha}=(c\rho, J_x,J_y,J_z)\)
- \( \partial_\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) \)
파동 방정식의 유도
- 미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 (미분연산자[[다변수미적분학|]] 항목 참조)
\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\)
\( \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})\) - 전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다
\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\)
\( \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})} {\partial t}\) - 앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다
\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \)
\( \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\)
- \(\rho=0, \mathbf{J}=0 \)인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다
\( \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\)
연속 방정식
- 앙페르-패러데이 법칙과 가우스 법칙이 사용된다.
- 앙페르-패러데이 법칙에서 시작하자
\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \) 에 divergence 연산자를 적용하여,
\(\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}\)
\( \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0\)
가우스 법칙 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\) 을 적용하면,
\( \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\) 을 얻는다.
- 마지막에 얻어진 방정식을 연속 방정식 이라 부르며 국소적인 전하의 보존을 의미한다
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역사
- 1820 앙페르
- 맥스웰
- 올리버 헤비사이트
- 하인리히 헤르츠
- 수학사연표
메모
관련된 항목들
수학용어번역
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMHpsWDdfNWJTWWs/edit
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록