분할수의 근사 공식 (하디-라마누잔-라데마커 공식)

수학노트
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개요

  • 분할수의 근사공식
  • Donald J.Newman의 'Analytic Number Theory'중에서

The table can be extended further of course no apparent pattern emerges. There is a famous story concerning the search for some kind of pattern in this table. This is told of Major MacMahon who kept a list of these partition numbers arranged one under another up into the hundreds. It suddenly occurred to him that, viewed from a distance, the outline of the digits seemed to form a parabola! Thus the number of digits in p(n), the number of partitions of n, is around or, p(n) itself is very roughly . The first crude assesment of p(n)!

  • 위의 글은 MacMahon이 분할수 <math>p(n)</math>의 테이블을 보고, 그 수가 커지는 모습이 포물선과 비슷하다는 사실을 발견한 순간에 대한 묘사이다.
  • 알려진 결과에 의하면 분할수의 근사공식은 다음과 같다.
<math>p(n) \sim \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math>
  • 위에서 얻은 근사공식은 <math>n=200</math>인 경우, 그 값이 <math>4.10025 \times 10^{12}</math>정도 된다. 한편, 이 경우 분할수의 값은 <math>p(200)=3972999029388</math>이다.


하디-라마누잔-라데마커 공식

  • <math>p(n)</math>에 대하여 다음이 성립한다
<math>p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^\infty A_k(n) \sqrt{k}\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)</math> 여기서 :<math>A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{\pi i s(h,k)-2\pi i n \frac{h}{k}}</math>이고 <math>s(h,k)</math>는 데데킨트 합


첫번째 항의 크기

<math>K=\pi\sqrt{\frac{2}{3}}</math> 로 두자

<math>A_1(n)=1</math>

<math>\frac{\sinh\left(\pi\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}} \sim \frac{e^{K\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}</math>이고
<math>\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\sim \frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}</math>

따라서

<math>p(n) \sim \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math>

관련된 항목들



사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': '1729'}]
  • [{'LOWER': 'hardy'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'ramanujan'}, {'LEMMA': 'number'}]
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