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* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]의 근사공식
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* Donald J.Newman의 'Analytic Number Theory'중에서
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The table can be extended further of course no apparent pattern emerges. There is a famous story concerning the search for some kind of pattern in this table. This is told of Major MacMahon who kept a list of these partition numbers arranged one under another up into the hundreds. It suddenly occurred to him that, viewed from a distance, the outline of the digits seemed to form a parabola! Thus the number of digits in p(n), the number of partitions of n, is around  or, p(n) itself is very roughly  . The first crude assesment of p(n)!
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* 위의 글은 MacMahon이 분할수 <math>p(n)</math>의 테이블을 보고, 그 수가 커지는 모습이 포물선과 비슷하다는 사실을 발견한 순간에 대한 묘사이다.
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*알려진 결과에 의하면 분할수의 근사공식은 다음과 같다.
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:<math>p(n) \sim \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math>
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* 위에서 얻은 근사공식은 <math>n=200</math>인 경우, 그 값이 <math>4.10025 \times 10^{12}</math>정도 된다. 한편, 이 경우 분할수의 값은 <math>p(200)=3972999029388</math>이다.
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==하디-라마누잔-라데마커 공식==
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* <math>p(n)</math>에 대하여 다음이 성립한다
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:<math>p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^\infty A_k(n) \sqrt{k}\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)</math> 여기서 :<math>A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{\pi i s(h,k)-2\pi i n \frac{h}{k}}</math>이고 <math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]
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* <math>A_k(n)</math>은 일반화된 형태의 [[클루스터만 합]]으로 생각할 수 있다
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===첫번째 항의 크기===
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:<math>\frac{\sinh\left(\pi\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}} \sim \frac{e^{K\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}</math>이고
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:<math>\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\sim \frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}</math>
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따라서
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:<math>p(n) \sim \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math>
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==관련된 항목들==
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* [[데데킨트 에타함수]]
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* [[패리 수열(Farey series)]]
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* [[클루스터만 합]]
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==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy-Ramanujan
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* http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html
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[[분류:q-급수]]
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[[분류:분할수]]
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== 리뷰, 에세이, 강의노트 ==
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* Andrij Rovenchak, Statistical mechanics approach in the counting of integer partitions, http://arxiv.org/abs/1603.01049v1
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q825176 Q825176]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': '1729'}]
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* [{'LOWER': 'hardy'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'ramanujan'}, {'LEMMA': 'number'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:45 기준 최신판

개요

  • 분할수의 근사공식
  • Donald J.Newman의 'Analytic Number Theory'중에서

The table can be extended further of course no apparent pattern emerges. There is a famous story concerning the search for some kind of pattern in this table. This is told of Major MacMahon who kept a list of these partition numbers arranged one under another up into the hundreds. It suddenly occurred to him that, viewed from a distance, the outline of the digits seemed to form a parabola! Thus the number of digits in p(n), the number of partitions of n, is around or, p(n) itself is very roughly . The first crude assesment of p(n)!

  • 위의 글은 MacMahon이 분할수 \(p(n)\)의 테이블을 보고, 그 수가 커지는 모습이 포물선과 비슷하다는 사실을 발견한 순간에 대한 묘사이다.
  • 알려진 결과에 의하면 분할수의 근사공식은 다음과 같다.

\[p(n) \sim \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]

  • 위에서 얻은 근사공식은 \(n=200\)인 경우, 그 값이 \(4.10025 \times 10^{12}\)정도 된다. 한편, 이 경우 분할수의 값은 \(p(200)=3972999029388\)이다.


하디-라마누잔-라데마커 공식

  • \(p(n)\)에 대하여 다음이 성립한다

\[p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^\infty A_k(n) \sqrt{k}\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\] 여기서 \[A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{\pi i s(h,k)-2\pi i n \frac{h}{k}}\]이고 \(s(h,k)\)는 데데킨트 합


첫번째 항의 크기

\(K=\pi\sqrt{\frac{2}{3}}\) 로 두자

\(A_1(n)=1\)

\[\frac{\sinh\left(\pi\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}} \sim \frac{e^{K\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}\]이고 \[\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\sim \frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}\]

따라서 \[p(n) \sim \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]

관련된 항목들



사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': '1729'}]
  • [{'LOWER': 'hardy'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'ramanujan'}, {'LEMMA': 'number'}]
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