"분할수의 근사 공식 (하디-라마누잔-라데마커 공식)"의 두 판 사이의 차이
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| + | * 위의 글은 MacMahon이 분할수 <math>p(n)</math>의 테이블을 보고, 그 수가 커지는 모습이 포물선과 비슷하다는 사실을 발견한 순간에 대한 묘사이다. | ||
| + | *알려진 결과에 의하면 분할수의 근사공식은 다음과 같다. | ||
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| + | * 위에서 얻은 근사공식은 <math>n=200</math>인 경우, 그 값이 <math>4.10025 \times 10^{12}</math>정도 된다. 한편, 이 경우 분할수의 값은 <math>p(200)=3972999029388</math>이다. | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy-Ramanujan | * http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy-Ramanujan | ||
* http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html | * http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html | ||
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| + | == 리뷰, 에세이, 강의노트 == | ||
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| + | * Andrij Rovenchak, Statistical mechanics approach in the counting of integer partitions, http://arxiv.org/abs/1603.01049v1 | ||
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| + | ==메타데이터== | ||
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q825176 Q825176] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LEMMA': '1729'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'hardy'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'ramanujan'}, {'LEMMA': 'number'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:45 기준 최신판
개요
- 분할수의 근사공식
- Donald J.Newman의 'Analytic Number Theory'중에서
The table can be extended further of course no apparent pattern emerges. There is a famous story concerning the search for some kind of pattern in this table. This is told of Major MacMahon who kept a list of these partition numbers arranged one under another up into the hundreds. It suddenly occurred to him that, viewed from a distance, the outline of the digits seemed to form a parabola! Thus the number of digits in p(n), the number of partitions of n, is around or, p(n) itself is very roughly . The first crude assesment of p(n)!
- 위의 글은 MacMahon이 분할수 \(p(n)\)의 테이블을 보고, 그 수가 커지는 모습이 포물선과 비슷하다는 사실을 발견한 순간에 대한 묘사이다.
- 알려진 결과에 의하면 분할수의 근사공식은 다음과 같다.
\[p(n) \sim \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]
- 위에서 얻은 근사공식은 \(n=200\)인 경우, 그 값이 \(4.10025 \times 10^{12}\)정도 된다. 한편, 이 경우 분할수의 값은 \(p(200)=3972999029388\)이다.
하디-라마누잔-라데마커 공식
- \(p(n)\)에 대하여 다음이 성립한다
\[p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^\infty A_k(n) \sqrt{k}\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\] 여기서 \[A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{\pi i s(h,k)-2\pi i n \frac{h}{k}}\]이고 \(s(h,k)\)는 데데킨트 합
- \(A_k(n)\)은 일반화된 형태의 클루스터만 합으로 생각할 수 있다
첫번째 항의 크기
\(K=\pi\sqrt{\frac{2}{3}}\) 로 두자
\(A_1(n)=1\)
\[\frac{\sinh\left(\pi\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}} \sim \frac{e^{K\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}\]이고 \[\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\sim \frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}\]
따라서 \[p(n) \sim \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]
관련된 항목들
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Andrij Rovenchak, Statistical mechanics approach in the counting of integer partitions, http://arxiv.org/abs/1603.01049v1
메타데이터
위키데이터
- ID : Q825176
Spacy 패턴 목록
- [{'LEMMA': '1729'}]
- [{'LOWER': 'hardy'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'ramanujan'}, {'LEMMA': 'number'}]