서로 접하는 네 원에 대한 데카르트의 정리와 아폴로니우스 개스킷

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데카르트의 정리

 

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  • 네 개의 원이 서로 접할때, 그 곡률(반지름의 역수) \(k_i\, (i=1,2,3,4)\) 이 만족시키는 관계\[\left( k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{s} \right)^{2} = 2\, \left( k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2} + k_{s}^{2} \right)\]
  • 1643년 11월 데카르트의 편지

 

예 : 포드 원의 경우

포드 원 (Ford Circles)1.gif

  • 서로 소인 두 자연수 p,q 에 대하여 C[p/q]를 중심이 \((\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})\) 이고, 반지름이 \(\frac{1}{2q^2}\)인 원이라 하자
  • C[3/5],C[5/8], C[2/3]와 x-축에 대하여 데카르트의 정리를 적용해 보자
  • 이 네 원은 서로서로 접하므로, 데카르트의 정리를 적용할 수 있다\[k_1=50,k_2=128,k_3=18, k_4=0\]\[50+128+18+0=196\], \(196^2=38416\)\[50^2+128^2+18^2+0^2=19208\], \(2\times 19208 = 38416\)
  • 포드 원에 대해서는 포드 원 (Ford Circles) 항목을 참조


 

소디의 시

  • 프레데릭 소디
    • 영국의 화학자, 1921년 노벨상 수상
  • 1936년 네이쳐에 'The Kiss Precise' 라는 시가 인쇄

 

The Kiss Precise by Frederick Soddy


    For pairs of lips to kiss maybe 한쌍의 입술이 키스를 할땐
    Involves no trigonometry. 삼각함수가 필요하지 않을꺼야.
    'Tis not so when four circles kiss 하지만 네 원이 서로 키스를 할땐 그렇지 않지

    Each one the other three. 각각이 다른 셋과 함께.
    To bring this off the four must be
    As three in one or one in three.
    If one in three, beyond a doubt
    Each gets three kisses from without.
    If three in one, then is that one
    Thrice kissed internally.


    Four circles to the kissing come.
    The smaller are the benter.
    The bend is just the inverse of
    The distance from the center.
    Though their intrigue left Euclid dumb
    There's now no need for rule of thumb.
    Since zero bend's a dead straight line
    And concave bends have minus sign,
    The sum of the squares of all four bends
    Is half the square of their sum.


    To spy out spherical affairs
    An oscular surveyor
    Might find the task laborious,
    The sphere is much the gayer,
    And now besides the pair of pairs
    A fifth sphere in the kissing shares.
    Yet, signs and zero as before,
    For each to kiss the other four
    The square of the sum of all five bends
    Is thrice the sum of their squares.

 

 

아폴로니우스의 개스킷

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모듈라 군의 fundamental domain

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아폴로니우스 군(Appolonius group)

  • 데카르트의 공식을 2차 방정식으로 풀면 \(a_1=-a_1'+2a_2+2a_3+2a_4\)\[\mathbf{S_1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\], \(\mathbf{S_2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)S_3,S_4
  • \(A=\langle S_1,S_2,S_3,S_4 \rangle\) 를 아폴로니우스 군이라 부름
  • \(Q(a_1,a_2,a_3,a_4)=2\sum a_i^2-(\sum a_i)^2\)는 signature (3,1) 인 이차형식
  • \(A=\langle S_1,S_2,S_3,S_4 \rangle\) 는 O_Q(\mathbb{Z}) 의 부분군 (orthogonal group)
  • A acts on H^3 (hyperbolic 3-space)
  • A is zariski dense in O_Q(\mathbb{C})

 

역사

  • BC200 아폴로니우스 - 서로 접하는 세 원이 있을때, 세 원이 접하는 두 개의 원이 있다
  • 1643 데카르트
  • 1937 소디 - 접하는 네 원의 곡률이 정수이면, 모든 원의 곡률은 정수이다


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