포드 원 (Ford Circles)

수학노트
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개요

  • \(p,q\)가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 \((\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})\) 이고, 반지름이 \(\frac{1}{2q^2}\)인 원을 포드 원이라 함
  • \(x\)-축에 접한다

포드 원 (Ford Circles)1.gif


관찰

  • 위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 \(x\) 좌표이다.)
  • \(p,q\)가 서로소인 자연수이므로, 원 중심의 \(x\) 좌표들은 기약분수이다.
  • 서로 다른 두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.
  • 접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
    • \(\frac35 , \frac23\)
    • \(\frac35 , \frac58\)
    • \(\frac58, \frac23\)
    • \(\frac58, \frac{7}{11}\)
  • 서로 접하는 세 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까
    • \(\frac35, \frac58 , \frac23\)
    • \(\frac35, \frac{8}{13} , \frac58\)
    • \(\frac58, \frac{7}{11} , \frac23\)
    • \(\frac47, \frac{7}{12} , \frac35\)
  • 패리 수열(Farey series)

관찰의 증명

정리

두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.

증명

아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(p/q\) 인 원이고, 원 B 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(P/Q\) 인 원이다. (\(p,q, P, Q\) 는 자연수, \(gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1\))

포드 원 (Ford Circles)3.gif


위 그림에서, 점 \(A\) 에서 선분 \(\overline{BG}\) 위에 내린 발을 \(C\) 라 하자. 그러면 삼각형 \(\triangle ACB\) 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,

\(\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2\) 이다. 포드 원의 정의에서 \(A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )\) 이므로, 다음이 성립한다 $$ \overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2} $$

여기서,

i. \(|Pq -pQ|> 1\) 이면, \(\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}\) 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.

ii. \(|Pq -pQ|= 1\) 이면, \(\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}\) 이므로, 두 원은 접한다.

iii. \(|Pq -pQ| <1\) 일 수는 없다.

왜냐하면, \(p,q, P, Q\) 는 자연수이므로 \(Pq -pQ = 0\) 이면, \(p/q \ne P/Q\) 에 모순이기 때문이다.

위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다. ■


정리

\(x\) 좌표가 \(p/q\) 인 포드 원을 \(C[p/q]\) 라고 쓰자. 두 포드 원 \(C[b/a]\) 과 \(C[d/c]\)이 접하면, \(|ad - bc| = 1\) 이 성립한다.

증명

관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다. ■

3. Farey Series 와의 관계


메모

포드 원 (Ford Circles)2.gif


관련된 항목들


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리뷰, 에세이, 강의노트



관련논문

  • Athreya, Jayadev, Sneha Chaubey, Amita Malik, and Alexandru Zaharescu. “Geometry of Farey-Ford Polygons.” arXiv:1410.4908 [math], October 18, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4908.
  • Fractions L. R. Ford, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601