슈바르츠 삼각형 함수

수학노트
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개요

  • automorphic 함수 \(w=S(\alpha,\beta,\gamma;z)\)
  • 슈워츠 삼각형 함수라고도 불림
  • 세 파라메터 a,b,c에 대한 초기하 미분방정식의 일차독립인 두 해의 비율로 얻어지는 함수
  • \(\alpha=1-c,\beta=b-a,\gamma=c-a-b\) 로 두자.
  • 리만 사상 정리 에 의하면 복소상반평면을 \(\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi\) 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수가 존재한다
  • 이 함수의 역함수를 라 한다
  • 맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈워츠 목록 의 연구에서 중요한 역할

 

 

초기하함수 표현

 

 

special values

  • \(s(0)=0\)
  • \(s(1)=\frac{\Gamma (2-c) \Gamma (c-a) \Gamma (c-b)}{\Gamma (1-a) \Gamma (1-b) \Gamma (c)}\)
  • \(s(\infty)=\frac{e^{i \pi (1-c)}\Gamma (b) \Gamma (c-a) \Gamma (2-c)}{\Gamma (c) \Gamma (b-c+1) \Gamma (1-a)}\)

 

 

  • 오차방정식과 정이십면체
  • \(\alpha=1/5, \beta=1/2, \gamma=1/3\) 로 두면, \(a=-1/60,b=29/60,c=4/5\) 를 얻는다
  • \(a=-1/60,b=29/60,c=4/5\) 를 이용하면,\[s(z)=\frac{z^{1/5} \, _2F_1\left(\frac{11}{60},\frac{41}{60};\frac{6}{5};z\right)}{\, _2F_1\left(-\frac{1}{60},\frac{29}{60};\frac{4}{5};z\right)}\]
  • 삼각형의 꼭지점\[s(0)=0\]\[s(1)=\frac{\Gamma \left(\frac{19}{60}\right) \Gamma \left(\frac{49}{60}\right) \Gamma \left(\frac{6}{5}\right)}{\Gamma \left(\frac{31}{60}\right) \Gamma \left(\frac{4}{5}\right) \Gamma \left(\frac{61}{60}\right)}\]\[s(\infty)=\frac{e^{\frac{i \pi }{5}} \Gamma \left(\frac{29}{60}\right) \Gamma \left(\frac{49}{60}\right) \Gamma \left(\frac{6}{5}\right)}{\Gamma \left(\frac{41}{60}\right) \Gamma \left(\frac{4}{5}\right) \Gamma \left(\frac{61}{60}\right)}\]
     

 


 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

사전 형태의 자료

 

관련논문

  • Koguchi, Yuto, Keiji Matsumoto, and Fuko Seto. ‘Schwarz Maps Associated with the Triangle Groups (2,4,4) and (2,3,6)’. arXiv:1505.01900 [math], 7 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.01900.
  • Maldonado, R., and N. S. Manton. ‘Analytic Vortex Solutions on Compact Hyperbolic Surfaces’. arXiv:1502.01990 [hep-Th, Physics:math-Ph, Physics:nlin], 6 February 2015. http://arxiv.org/abs/1502.01990.
  • Harmer, Mark. ‘Note on the Schwarz Triangle Functions’. Bulletin of the Australian Mathematical Society 72, no. 3 (2005): 385–89. doi:10.1017/S0004972700035218.
  • Lehner, Joseph. ‘Note on the Schwarz Triangle Functions.’ Pacific Journal of Mathematics 4, no. 2 (1954): 243–49. http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103044883