오일러의 공식

수학노트
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개요

  • \(e^{i \pi} +1 = 0\)
  • 오일러의 발견
  • 수학에서 가장 아름다운 정리로 여겨지는 것 중 하나.
  • 수학에서 중요한 다섯개의 상수(\(0, 1,i, \pi, e\))와 중요한 세개의 연산(더하기, 곱하기, 거듭제곱)이 함께 등장.
  • 동일한 이름의 (역시 아름다운) 정리로, 다면체에 대한 오일러의 정리가 있음.
  • 복소함수론에서는 복소지수함수를 다음과 같이 정의함.\[e^{ix}=\cos x+ i\sin x\]

위의 식에 \(x=\pi\) 를 대입하면, 오일러의 공식이 얻어짐.



유추를 통한 유도

우리는 실수 \(x\)에 대하여, \(e^x\)를 정의할 수 있다. 이제 우리 앞의 과제는 지수\(x\)를 실수를 넘어 복소수까지 확장하는 것이다.

복소수지수를 정의하기 위해서, 실수범위까지 정의된 지수함수에 대해 복습을 해 보자.

지수함수 f는 다음과 같은 성질들을 만족한다. 이 부분을 눈을 번쩍 뜨고 봐주길 바란다.

1. \(f(0)=1\)
2. \(f(x+y)=f(x)f(y)\)
3. \(f\)는 미분가능

두번째 성질을 지수함수의 가장 중요한 성질로 보존하고 싶다면, 지수함수를 복소수까지 확장하는 데는 다음을 만족시킬 필요가 있다.

\(e^{x+iy}=e^x e^{iy}\)

따라서, 실수 \(x\)에 대하여, \(e^{ix}\) 를 정의하는 것으로 목표를 좁힐 수 있다.


위에 언급한 지수함수의 성질이 중요한 이유는, 이 세가지 성질이 역으로 지수함수들을 규정하기 때문이다. 다시 말해, 이 세가지 성질을 만족시킬 수 있는 함수는 오직 지수함수 뿐이다. 이 세가지 성질을 만족시키는 함수를 찾으라고 한다면, 어떤 양수 \(\alpha\)가 있어서,

\(f(x)={\alpha}^x\)

를 만족시키게 된다. 이 경우,

\(\ln \alpha=c\)로 두면, \(f(x)={\alpha}^x=e^{cx}\) 가 만족된다.

그리고, 이 지수함수를 미분하게 되면,

\(\frac{df}{dx} =ce^{cx}=cf(x)\)

가 만족된다.

여기에서 기억해야 할 사실은 단 하나, 모든 지수함수는 \(e^{cx}\)의 형태로 쓸 수 있고, \(c\)는 미분을 할 때, 앞에 상수로 튀어나오는 숫자라는 것이다.

이제 오일러의 공식을 유도하기 위한 모든 준비는 끝났다.

\(f(x)=\cos x+ i\sin x\)

라고 정의된, 실수 x 를 넣으면 복소수 값을 뱉어내는 함수를 생각해 보자. 이 함수는 다음 성질들을 만족한다.

1. \(f(0)=\cos 0+ i\sin 0=1\)
2. \(f(x)f(y)=(\cos x+ i\sin x)(\cos y+i\sin y)=\cos (x+y)+i \sin (x+y)=f(x+y)\)
3. \(\cos x,\sin x\)이 미분가능하므로 \(f\) 역시 미분가능

그저 삼각함수와 허수를 결합시켰을 뿐인데, 지수함수만이 만족시킬수 있는 함수가 신비스럽게도(?) 만들어졌다.

이 함수를 미분해보자.

\(\frac{df}{dx} =-\sin x +i \cos x=i(\cos x+ i\sin x)=if(x)\)

지수함수를 복소수 범위까지 확장하는데 있어서, 실수범위까지 정의되었던 지수함수가 만족시키는 성질과 미적분학의 규칙들을 보존하고 싶다면, 이제까지의 논의를 통해 우리에게 주어지는 선택지는 단 하나.

\(f(x)=\cos x+ i\sin x=e^{ix}\)

다시 말해, 실수 \(x\)에 대하여, \(e^{ix}\) 를 정의하고 싶다면, 위에 놓인 선택지가 유일하다는 것이다. 지수함수를 복소수 범위까지 넓히고 싶다면, 이 정의를 따르는 것 말고는 방법이 없다. 그러니 이 정의를 채택하자.

이제 오일러의 공식은 그냥 따라 나오게 된다.

만약, \(x=\pi\) 라면,

\(f(\pi)=\cos \pi+ i\sin \pi=e^{i\pi}=-1\)

따라서,

\(e^{i\pi}+1=0\)


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