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* <math>\phi (1) = 1</math> | * <math>\phi (1) = 1</math> | ||
* 일반적으로, 2 이상의 자연수 n 을 <math>p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_n ^{\alpha _n} </math> 으로 소인수분해시, <math>\phi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_n ^{\alpha _n - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_n - 1) </math> 이 된다. | * 일반적으로, 2 이상의 자연수 n 을 <math>p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_n ^{\alpha _n} </math> 으로 소인수분해시, <math>\phi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_n ^{\alpha _n - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_n - 1) </math> 이 된다. | ||
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2009년 11월 28일 (토) 12:52 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
정의
- 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 나타내는 함수
- \(\varphi(n)\) 으로 나타냄
성질
- 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)
- 소수 \(p\) 에 대하여, \(\varphi(p^{k}) = (p - 1)p^{k - 1}\)
- \(\phi (1) = 1\)
- 일반적으로, 2 이상의 자연수 n 을 \(p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_n ^{\alpha _n} \) 으로 소인수분해시, \(\phi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_n ^{\alpha _n - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_n - 1) \) 이 된다.
응용
- 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
- 이 군을 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 로 표현하며, 원소의 개수는 \(\varphi(n)\) 이 됨.
- 합동식과 군론 항목 참조
원분체의 갈루아군
- 원분체 (cyclotomic field)의 갈루아군은 \(\text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n) /\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)를 만족
재미있는 사실
역사
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 다른 주제들
수학용어번역
사전형태의 자료
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