이계 선형 미분방정식
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개요
- 다음 형태로 주어지는 미분방정식:<math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)</math>
예
- 상수계수 이계 선형미분방정식:<math>ay+by'+cy=0</math>
- 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations):<math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0</math>
론스키안(Wronskian)
정의
- 론스키안(Wronskian)은 미분방정식
- <math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0</math>의 일차독립인 두 해, <math>y_1,y_2</math>에 대하여 다음과 같이 정의된다:<math>\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}</math>
성질
- <math>\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}</math>
(증명) <math>W=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2</math>
<math>W'=y_1'y_2'+y_1y_2-y_1y_2-y_1'y_2'=y_1(-py_2'-qy_2)-(-py_1'-qy_1)y_2=-p(y_1y_2'-y_1'y_2)=-pW</math>
따라서 적당한 상수 c에 대하여, <math>W=\,c e^{-\int{p}\,dz}</math> ■
미분방정식의 변환 (Q-form)
- <math>y+p(x)y'+q(x)y=0</math> 의 가운데 <math> p(x)y</math> 항을 적당한 변환에 의해 없앨 수 있다
증명
<math>\sigma(x)=e^{-\frac{1}{2} \int p(x) \, dx}</math> 로 두자. <math>y(x)=\sigma(x)u(x)</math> 가 미분방정식의 해이면,
- <math>u(x)-\frac{1}{4} u(x) \left(2 p'(x)+p(x)^2-4 q(x)\right)=0</math> 가 성립한다
응용
특별히 이를 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 에 응용할 경우,
- <math> p(z)=\frac{c-z (a+b+1)}{(1-z) z},q(z)=-\frac{a b}{(1-z) z}</math> 로 두면,
- <math>q(z)-\frac{1}{4} p(z)^2-\frac{p'(z)}{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)</math>을 얻는다.
여기서 <math>\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c</math>.
메모
- Bremer, James, and Vladimir Rokhlin. “On the Numerical Solution of Second Order Differential Equations in the High-Frequency Regime.” arXiv:1409.6049 [math], September 21, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.6049.
- The series solution of second order ordinary differential equations and special functions