"이차잉여의 상호법칙"의 두 판 사이의 차이
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2014년 1월 17일 (금) 16:10 판
개요
- 정수 $a$를 소수 $p$로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 $p$로 나눈 나머지와 같으면 이차잉여라 한다
- 소수 $p$에 대하여, 이차합동식 \(x^2\equiv a \pmod p\) 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
- 두 홀수인 소수 $p,q$가 서로의 법에 대한 이차잉여가 될 조건은 긴밀히 연관되어 있으며, 이를 이차잉여의 상호법칙이라 한다
- 정수론의 중심적인 주제인 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)의 시작
이차잉여
예
- 합동식 (모듈로 modulo 연산)
- 소수 3에 대한 이차잉여
- 3으로 나눈 나머지가 1인수
- 소수 5에 대한 이차잉여
- 5로 나눈 나머지가 1 또는 4
- 이차잉여를 판정하는 하나의 방법은 가우스의 보조정리(Gauss's lemma)를 사용하는 것이다
테이블
- 처음 몇개의 소수에 대한 이차잉여와 비이차잉여
$$ \begin{array}{c|c|c} \text{} & \text{quadratic residue} & \text{quadratic nonresidue} \\ \hline 2 & \{1\} & \{\} \\ 3 & \{1\} & \{2\} \\ 5 & \{1,4\} & \{2,3\} \\ 7 & \{1,2,4\} & \{3,5,6\} \\ 11 & \{1,3,4,5,9\} & \{2,6,7,8,10\} \\ 13 & \{1,3,4,9,10,12\} & \{2,5,6,7,8,11\} \\ 17 & \{1,2,4,8,9,13,15,16\} & \{3,5,6,7,10,11,12,14\} \\ 19 & \{1,4,5,6,7,9,11,16,17\} & \{2,3,8,10,12,13,14,15,18\} \\ 23 & \{1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\} & \{5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22\} \\ 29 & \{1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28\} & \{2,3,8,10,11,12,14,15,17,18,19,21,26,27\} \end{array} $$
르장드르 부호
- 정수 $a$와 홀수인 소수 $p$ 에 대하여, 르장드르 부호를 다음과 같이 정의한다
\[\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\]
- 르장드르 부호와 자코비 부호 항목 참조
테이블
- 처음 몇 개의 소수들에 대한 르장드르 부호 $\left(\frac{y}{x}\right)$의 계산
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x\ddots y & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 \\ \hline 3 & & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ \hline 5 & -1 & & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 \\ \hline 7 & 1 & -1 & & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ \hline 11 & -1 & 1 & 1 & & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ \hline 13 & 1 & -1 & -1 & -1 & & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ \hline 17 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 19 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \hline 23 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline 29 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ \hline 31 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline 37 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & & 1 & -1 & 1 & 1 \\ \hline 41 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & & 1 & -1 & -1 \\ \hline 43 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & & -1 & 1 \\ \hline 47 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & & 1 \\ \hline 53 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & \end{array} $$
이차잉여의 상호법칙
'상호법칙 (reciprocity law)'이란
- 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
- 인수분해되는 방식에 따라서 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
- \(f(x)=x^2-5\)라면, 홀수인 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
- \(p\equiv 1,4 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해
- \(p\equiv 2,3 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 분해되지 않음
- 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws) 항목 참조
상호법칙
- 정리
홀수인 서로 다른 소수 $p, q$에 대하여, \[\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}\] 또는 \[\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\] 형태로 쓸 수도 있음.
- 정리
$p\nmid 2n$인 모든 소수에 대하여 $\left(\frac{n}{p}\right)=\chi(p)$를 만족하는 준동형사상 $\chi:(\mathbb{Z}/4n\mathbb{Z})^{\times}→\{1,−1\}$가 존재한다
상호법칙의 증명
역사
- 1796년 가우스에 의해 처음으로 증명
- 수학사 연표
메모
- http://mathoverflow.net/questions/1420/whats-the-best-proof-of-quadratic-reciprocity
- http://mathoverflow.net/questions/43240/what-is-the-l-function-version-of-quadratic-reciprocity
- http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=이차잉여
관련된 항목들
- 가우스 합
- 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)
- 3차 상호법칙
- 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
- 프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리
- 자코비 세타함수
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/이차잉여
- http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_residue
- http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_reciprocity
관련도서
- Avner Ash, Robert Gross Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers
- Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein
- Franz Lemmermeyer (Springer, 2000)
- The Fourier-Analytic Proof of Quadratic Reciprocity
- Michael C. Berg
리뷰, 에세이, 강의노트
- Anders Karlsson, Applications of heat kernels on abelian groups: $\zeta(2n)$, quadratic reciprocity, Bessel integrals
- David A. Cox, Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
- Harold M. Edwards, Euler and Quadratic ReciprocityMathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 285-291
- Neal Koblitz, Why Study Equations over Finite Fields? Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 3 (May, 1982), pp. 144-149
- B. F. Wyman, What is a Reciprocity Law? The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
- Albert Leon Whiteman Theorems on Quadratic Residues, Mathematics Magazine, Vol. 23, No. 2 (Nov. - Dec., 1949), pp. 71-74