"정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)"의 두 판 사이의 차이

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원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 <math>\Phi_n(x)=f_1f_2\cdot f_l \pmod p</math> 를 얻고, <math>f_1</math>의 차수가 s라고 하자.
 
원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 <math>\Phi_n(x)=f_1f_2\cdot f_l \pmod p</math> 를 얻고, <math>f_1</math>의 차수가 s라고 하자.
  
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<math>\mathbb F_p[x]/(f_1)=\mathbb F_{p^s}</math>
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<math>\mathbb{F}_p</math>의 적당한 체확장에서 기약다항식  <math>f_1</math>의 근 <math>\alpha</math> 를 찾자. 그러면, <math>\mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}</math> 을 얻는다.
  
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<math>\alpha \in \mathbb F_{p^s}</math> 가 <math>f_1</math>의 근이라 하자. 그러면 <math>\Phi_n(\alpha)=0</math>이고, 따라서 <math>\alpha^n=1</math> 이 된다.
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유한체 <math>\mathbb F_p</math> 의 원소는 방정식 <math>x(x^{p-1}-1)=0</math> 을 만족시키는 원소들로 구성된다.
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 <math>\Phi_n(\alpha)=0</math>이고, 따라서 <math>\alpha^n=1</math> 이 된다.
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유한체 <math>\mathbb F_{p^s}</math> 는 방정식 <math>x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)</math> 의 근으로 구성되므로, <math>n|{p^s-1}</math> 을 얻는다.
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그러므로, <math>s\geq r</math> 이다.
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 <math>x^n=1</math> 을 만족시키는 원소의 개수는 <math>\phi(n)</math>과 같다. ([[오일러의 totient 함수]])
 
 <math>x^n=1</math> 을 만족시키는 원소의 개수는 <math>\phi(n)</math>과 같다. ([[오일러의 totient 함수]])

2010년 1월 14일 (목) 09:51 판

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개요
  • 정수계수 다항식 f(x)가 주어져 있을 때, f(x) mod p 를 생각한다.
  • 이 때, 어느 소수 p에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 p가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
  • 하는 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 근본적인 질문들

 

 

이차잉여의 상호법칙
  • 정수 계수 이차 다항식 \(x^2-a\) 의 문제
  • \(x^2-a\pmod p\) 가 \(p\) 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문
  • 자세한 사항은 이차잉여의 상호법칙 에서 다루기로 함.
  • 이차수체

 

 

디리클레 정리와 상호법칙의 관계
  • 상호법칙의 질문에 따라 원분다항식(cyclotomic polynomial)의 분해에 대한 문제를 생각해 볼 수 있음.
  • 즉 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 어떤 소수 \(p\) 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제를 생각할 수 있음.

 

(정리)

\(p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 order가 \(r\)이라 하자. 즉 r이 \(p^r=1\pmod n\) 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.

그러면 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다.

 

(증명)

원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 \(\Phi_n(x)=f_1f_2\cdot f_l \pmod p\) 를 얻고, \(f_1\)의 차수가 s라고 하자.

\(\mathbb{F}_p\)의 적당한 체확장에서 기약다항식  \(f_1\)의 근 \(\alpha\) 를 찾자. 그러면, \(\mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}\) 을 얻는다.

 

 \(\Phi_n(\alpha)=0\)이고, 따라서 \(\alpha^n=1\) 이 된다.

유한체 \(\mathbb F_{p^s}\) 는 방정식 \(x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)\) 의 근으로 구성되므로, \(n|{p^s-1}\) 을 얻는다.

그러므로, \(s\geq r\) 이다.

 

 \(x^n=1\) 을 만족시키는 원소의 개수는 \(\phi(n)\)과 같다. (오일러의 totient 함수)

이러한 원소들은  \(\Phi_n(x)=0 \pmod p\) 의 해가 되고, 또한 그 개수가 \(\Phi_n(x)\) 의 차수와 같다.

따라서  \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 일차식들로 분해됨을 알 수 있다.

 

 

■

 

(따름정리)

\(n | p-1\)  \(\iff\)  \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해된다

(증명)

위의 정리에서 \(r=1\)인 경우에 해당한다   ■

  •  \(n | p-1\) 이면, \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 \(\text{Frob}_p\) 가 체확장 \(\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)\)의 갈루아군의 항등원임을 의미한다.

프로베니우스의 density 정리에 의하면, \(\text{Frob}_p\)가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 \(p\equiv 1 \pmod n\) 가 증명된다.

 

 

체보타레프 밀도 정리
  • 일반적인 수체

 

프로베니우스의 밀도 정리

 

 

원분체의 arithmetic
  • Kronecker-Weber theorem and Ray class field
  • 이차잉여의 상호법칙

디리클레 정리

 

 

관련된 항목들

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

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