정오각형

목차

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1. 간단한 소개
2. 정오각형과 황금비
3. 황금삼각형
4. 꼭지점의 평면좌표
5. 정오각형의 작도
6. 재미있는 사실
7. 관련된 단원
8. 많이 나오는 질문
9. 관련된 다른 주제들
10. 관련도서 및 추천도서
11. 관련된 고교수학 또는 대학수학
12. 참고할만한 자료
13. 이미지 검색
14. 관련기사

 

 

간단한 소개^#

• 변이 다섯개이며 길이가 모두 같은 다각형
•  
• 정십이면체는 정오각형으로 만들어져 있다.

 

 

정오각형과 황금비^#

• '황금비' 항목을 먼저 참조
• 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.

[/pages/3002548/attachments/1344232 180px-Ptolemy_Pentagon.svg.png]

 

\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)

 

(증명)

삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC의 BC의 원주각이기 때문)

AC와 BD의 교점을 E라 하자.

각의 이등분선의 성질에 의해, 

AB : AD = BE : DE 즉 \(a : b = b-a : a\) 가 성립한다.

\(b^2 - ab - a^2 = 0\)

\((\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0\)  Q.E.D

 

• 톨레미의 정리 를 적용하면 쉽게 구할 수 있음.

 

황금삼각형^#

 

[/pages/3002548/attachments/1344270 317px-Golden_triangle_in_pentagon.svg.png]

 

• 삼각형 변의 길이 비율은 황금비가 됨.

 

꼭지점의 평면좌표^#

• 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
• 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
• 양변을 \(z^2\)으로 나누면, \(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0\) 을 얻게됨.

\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

\(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0\)

방정식을 풀면,

\(y^2+y-1=0\)

\(y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

\(z^2-yz+1=0\)

\(z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\)

 

을 얻게 됨. 

따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.

• 복소평면상에서 \(z\) 의 \(x\) 좌표는 \(\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\) 로 주어짐.

 

 

정오각형의 작도^#

• 정오각형의 작도
  
  • Youtube

 

 

정오각형과 정다면체

• 정다면체

 

 

재미있는 사실^#

• 미국의 국방성인 펜타곤은 정오각형 모양으로 지어졌음.
  
  • http://images.google.com/images?q=pentagon
• 사과를 가로단면으로 자르면, 오각형 모양을 볼 수 있음.
  
  • 사과는 별을 싣고… , 피타고라스의 창, 2007-12-23
• 신권인 5만원에는 오각형이 숨어 있음.
  
  • 기대반 우려반… 5만원권 오늘부터 본격 유통
    
    • 머니투데이, 2009-6-23
  • 신권, 16가지 위조방지 `첨단옷` 입었다
    
    • 디지털타임스, 2009-2-25
• 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함
  
  • http://images.google.com/images?q=dali+last+supper

 

 

 

많이 나오는 질문^#

• 네이버 지식인
  
  • http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=오각형
  • http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=정오각형
  • http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

관련된 다른 주제들^#

• 복소수와 정다각형
• 가우스와 정17각형의 작도
• 황금비
• 축구공의 수학
• 정다면체

 

 

 

 

관련된 고교수학 또는 대학수학^#

• 복소수
  
  • 드무아브르의 정리

 

참고할만한 자료^#

• 한글 위키피디아
  
  • 정오각형

 

 

이미지 검색^#

• http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
• http://images.google.com/images?q=dali+last+supper
• http://www.artchive.com

 

관련기사^#

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=오각형
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=오만원오각형
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=