정오각형

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목차

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1. 간단한 소개
2. 정오각형과 황금비
3. 황금삼각형
4. 정오각형 꼭지점의 평면좌표
5. 정오각형의 작도
6. 정오각형과 정다면체
7. 재미있는 사실
8. 관련된 단원
9. 많이 나오는 질문
10. 관련된 다른 주제들
11. 관련도서 및 추천도서
12. 관련된 고교수학 또는 대학수학
13. 참고할만한 자료
14. 이미지 검색
15. 관련기사
16. 블로그

 

 

 

개요^#

• 변이 다섯개이며 길이가 모두 같은 다각형
• 정다면체 중 하나인 정십이면체는 정오각형으로 만들어져 있다.

 

 

정오각형과 황금비^#

• '황금비' 항목을 먼저 참조
• 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.

[/pages/3002548/attachments/1344232 180px-Ptolemy_Pentagon.svg.png]

 

\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)

 

(증명)

삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC의 BC의 원주각이기 때문)

AC와 BD의 교점을 E라 하자.

각의 이등분선의 성질에 의해, 

AB : AD = BE : DE 즉 \(a : b = b-a : a\) 가 성립한다.

\(b^2 - ab - a^2 = 0\)

\((\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0\)  Q.E.D

 

• 톨레미의 정리 를 적용하면 쉽게 구할 수 있음.

 

황금삼각형^#

 

[/pages/3002548/attachments/1344270 317px-Golden_triangle_in_pentagon.svg.png]

 

• 삼각형 변의 길이 비율은 황금비가 됨.

 

정오각형 꼭지점의 평면좌표^#

• 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
• 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
• 양변을 \(z^2\)으로 나누면, \(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0\) 을 얻게됨.

\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

\(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0\)

방정식을 풀면,

\(y^2+y-1=0\)

\(y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

\(z^2-yz+1=0\)

\(z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\)

 

을 얻게 됨. 

따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.

• 복소평면상에서 \(z\) 의 \(x\) 좌표는 \(\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\) 로 주어짐.

 

 

정오각형의 작도^#

• 정오각형의 작도
  
  • Youtube

 

 

정오각형과 정다면체^#

• 정십이면체의 면은 정오각형으로 구성
• 정다면체

 

 

재미있는 사실^#

• 미국의 국방성인 펜타곤은 정오각형 모양으로 지어졌음.
  
  • http://images.google.com/images?q=pentagon

• 신권인 5만원에는 오각형이 숨어 있음.
  
  • 기대반 우려반… 5만원권 오늘부터 본격 유통
    
    • 머니투데이, 2009-6-23
  • 신권, 16가지 위조방지 `첨단옷` 입었다
    
    • 디지털타임스, 2009-2-25
• 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함
  
  • http://images.google.com/images?q=dali+last+supper

 

[/pages/3002548/attachments/1796191 appleho.JPG]

사과를 가로로 자르는 일은 흔치 않기 때문에, 사과의 이런 단면은 참 낯설다. 사과 속에 별이 있고 꽃이 있다. 세상엔 참 흔한데도 불구하고, 못보고 지나치는 것들이 너무 많다. 

 

 

 

관련된 항목들^#

• 복소수와 정다각형
• 가우스와 정17각형의 작도
• 황금비
• 축구공의 수학
• 정다면체

 

 

 

 

관련된 고교수학 또는 대학수학^#

• 복소수
  
  • 드무아브르의 정리

 

사전형태의 자료^#

• 한글 위키피디아
  
  • 정오각형

 

 

이미지 검색^#

• http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
• http://images.google.com/images?q=dali+last+supper
• http://www.artchive.com

 

관련기사^#

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=오각형
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=오만원오각형
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

 

블로그^#

• 정오각형 작도
  
  • 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-9-1