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* 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>은 다음과 같은 순서로 풀수 있음. | * 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>은 다음과 같은 순서로 풀수 있음. | ||
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따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능. | 따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능. | ||
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* 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함<br> | * 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함<br> | ||
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| − | * 사과의 단면 - 사과를 가로로 자르는 일은 흔치 않기 때문에, 사과의 이런 단면은 참 낯설다. 사과 속에 별이 있고 꽃이 있다. 세상엔 참 흔한데도 불구하고, 못보고 지나치는 것들이 너무 많다. | + | * 사과의 단면 - 사과를 가로로 자르는 일은 흔치 않기 때문에, 사과의 이런 단면은 참 낯설다. 사과 속에 별이 있고 꽃이 있다. 세상엔 참 흔한데도 불구하고, 못보고 지나치는 것들이 너무 많다. [/pages/3002548/attachments/1796191 appleho.JPG] |
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* [[드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형|복소수와 정다각형]] | * [[드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형|복소수와 정다각형]] | ||
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* [[정다면체]] | * [[정다면체]] | ||
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* 한글 위키피디아<br> | * 한글 위키피디아<br> | ||
** [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EC%98%A4%EA%B0%81%ED%98%95 정오각형] | ** [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EC%98%A4%EA%B0%81%ED%98%95 정오각형] | ||
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* [http://navercast.naver.com/science/math/935 정오각형 작도]<br> | * [http://navercast.naver.com/science/math/935 정오각형 작도]<br> | ||
** 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-9-1 | ** 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-9-1 | ||
2012년 10월 21일 (일) 14:22 판
개요
- 변이 다섯개이며 길이가 모두 같은 다각형
- 정오각형의 대각선의 길이와 황금비의 관계
- 정다면체 중 하나인 정십이면체는 정오각형으로 만들어져 있다.
정오각형의 대각선과 황금비
- '황금비' 항목을 먼저 참조
- 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.
[/pages/3002548/attachments/4415551 pentagon(1).png]
\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)
(증명)
삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC의 BC의 원주각이기 때문)
AC와 BD의 교점을 E라 하자.
각의 이등분선의 성질에 의해,
AB : AD = BE : DE 즉 \(a : b = b-a : a\) 가 성립한다.
\(b^2 - ab - a^2 = 0\)
\((\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0\) ■
- 톨레미의 정리 를 적용하면 쉽게 구할 수 있음.
황금삼각형
[/pages/3002548/attachments/1344270 317px-Golden_triangle_in_pentagon.svg.png]
- 삼각형 변의 길이 비율은 황금비가 됨.
정오각형 꼭지점의 평면좌표
- 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
- 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
- 양변을 \(z^2\)으로 나누면, \(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0\) 을 얻게됨.
\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.
\(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0\)
방정식을 풀면,
\(y^2+y-1=0\)
\(y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)
\(z^2-yz+1=0\)
\(z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\)
을 얻게 됨.
따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.
- 복소평면상에서 \(z\) 의 \(x\) 좌표는 \(\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\) 로 주어짐.
정오각형의 작도
- 정오각형의 작도
- Youtube
정오각형과 정다면체
- 정십이면체의 면은 정오각형으로 구성
- 정다면체
재미있는 사실
- 미국의 국방성인 펜타곤은 정오각형 모양으로 지어졌음.
- 신권인 5만원에는 오각형이 숨어 있음.
- 기대반 우려반… 5만원권 오늘부터 본격 유통
- 머니투데이, 2009-6-23
- 신권, 16가지 위조방지 `첨단옷` 입었다
- 디지털타임스, 2009-2-25
- 기대반 우려반… 5만원권 오늘부터 본격 유통
- 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함
- 사과의 단면 - 사과를 가로로 자르는 일은 흔치 않기 때문에, 사과의 이런 단면은 참 낯설다. 사과 속에 별이 있고 꽃이 있다. 세상엔 참 흔한데도 불구하고, 못보고 지나치는 것들이 너무 많다. [/pages/3002548/attachments/1796191 appleho.JPG]
관련된 항목들
관련도서
관련된 고교수학 또는 대학수학
- 복소수
- 드무아브르의 정리
사전형태의 자료
- 한글 위키피디아
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=오각형
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=오만원오각형
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
블로그
- 정오각형 작도
- 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-9-1