정오각형

개요

• 변이 다섯개이며 길이가 모두 같은 다각형
• 정다각형의 하나
• 정오각형의 대각선의 길이와 황금비의 관계
• 정다면체 중 하나인 정십이면체는 정오각형으로 만들어져 있다.

정오각형의 대각선과 황금비

• '황금비' 항목 참조
• 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.

\[{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\]

(증명)

삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC의 BC의 원주각이기 때문)

AC와 BD의 교점을 E라 하자.

각의 이등분선의 성질에 의해,

AB : AD = BE : DE 즉 \(a : b = b-a : a\) 가 성립한다. \[b^2 - ab - a^2 = 0\] \[(\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0\] ■

• 톨레미의 정리 를 적용하면 쉽게 구할 수 있음.

황금삼각형

• 삼각형 변의 길이 비율은 황금비가 됨.

정오각형 꼭지점의 평면좌표

• 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
• 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
• 양변을 \(z^2\)으로 나누면, \(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0\) 을 얻게됨.

\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음. \[z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0\]

방정식 \(y^2+y-1=0\)을 풀면, \[y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\] 이제 \(z^2-yz+1=0\)로부터 다음을 얻는다 \[z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\] 따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.

• 복소평면상에서 \(z\) 의 \(x\) 좌표는 \(\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\) 로 주어짐.

정오각형의 작도

• 정오각형의 작도
  • Youtube

정오각형과 정다면체

• 정십이면체의 면은 정오각형으로 구성
• 정다면체

재미있는 사실

• 미국의 국방성인 펜타곤은 정오각형 모양으로 지어졌음.
  • http://images.google.com/images?q=pentagon
• 신권인 5만원에는 오각형이 숨어 있음.
  • 기대반 우려반… 5만원권 오늘부터 본격 유통
    • 머니투데이, 2009-6-23
  • 신권, 16가지 위조방지 `첨단옷` 입었다
    • 디지털타임스, 2009-2-25
• 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함
  • http://images.google.com/images?q=dali+last+supper
• 사과의 단면 - 사과를 가로로 자르는 일은 흔치 않기 때문에, 사과의 이런 단면은 참 낯설다. 사과 속에 별이 있고 꽃이 있다. 세상엔 참 흔한데도 불구하고, 못보고 지나치는 것들이 너무 많다.

관련된 항목들

• 복소수와 정다각형
• 가우스와 정17각형의 작도
• 황금비
• 축구공의 수학
• 정다면체

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 복소수
  • 드무아브르의 정리

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/정오각형

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=오각형
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=오만원오각형

블로그

• 정오각형 작도
  • 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-9-1