"제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)"의 두 판 사이의 차이
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+ | :<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math> | ||
+ | * [[타원곡선의 주기]]이다 | ||
+ | * <math>k</math>가 타원적분의 singular value 일때([[타원적분의 singular value k]]), 일종타원적분의 값을 구하는 문제 | ||
+ | ** 19세기부터 많이 연구된 타원 함수 이론의 고전적인 문제이며, [[complex multiplication]] 이론, 타원곡선의 [[periods]] 의 틀에서 이해할 수 있음 | ||
+ | ** <math>K(k)</math>의 값을 감마함수의 값의 곱으로 표현 | ||
+ | ** 아래에 몇가지 예가 제시 | ||
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− | * | + | * 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함. |
− | * <math>k</math> | + | :<math>K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k)</math> |
− | * | + | * <math>k'=\sqrt{1-k^2}</math>라 두면 |
− | + | :<math>2K(\frac{1-k'}{1+k'})=(1+k')K(k)</math> | |
− | + | * [[란덴변환(Landen's transformation)]] 항목 참조 | |
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− | < | + | * [[오일러-가우스 초기하함수2F1]]를 이용한 표현 |
+ | :<math>K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math> | ||
+ | :<math>K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math> | ||
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− | + | :<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} k^{2n}\sin^{2n}\theta{d\theta} </math> | |
− | + | :<math>\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}</math> 이므로 ([[오일러 베타적분(베타함수)]] 항목 참조) | |
− | < | + | :<math>K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math>■ |
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+ | * <math>z=k^2</math>로 두고, <math>w(z)=\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)</math> 라 하자:<math>K(k)=w(z)=w(k^2)</math>:<math>K(k')=w(1-z)=w(1-k^2)</math> | ||
+ | * <math>w(z)</math>는 다음 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]을 만족시킨다:<math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(1-2z)\frac{dw}{dz}-\frac{1}{4}w = 0</math> | ||
+ | * <math>w_1(z)=w(z)</math>와 <math>w_2=w(1-z)</math>는 이 미분방정식의 선형독립인 두 해이다 | ||
+ | * [[맴돌이군과 미분방정식]] 항목 참조 | ||
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− | + | ==singular values== | |
− | * | + | * 자연수 <math>n </math> 에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>k</math>를 타원적분의 singular value 라 한다 |
+ | :<math>\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n </math> | ||
* [[타원적분의 singular value k|타원적분 singular value k]] 항목 참조 | * [[타원적분의 singular value k|타원적분 singular value k]] 항목 참조 | ||
− | * 예 | + | * 예:<math>\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1</math>:<math>\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}</math>:<math>\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}</math>:<math>\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}\right)= \sqrt{4}</math> |
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+ | ===예=== | ||
<math>K(0) = \frac{\pi}{2}</math> | <math>K(0) = \frac{\pi}{2}</math> | ||
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<math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots</math> | <math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots</math> | ||
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<math>K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}</math> | <math>K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}</math> | ||
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<math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots</math> | <math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots</math> | ||
− | <math>K\left(3-2\sqrt{2 | + | <math>K\left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots</math> |
− | * 더 자세한 | + | * 더 자세한 목록은 '''[Zucker77]''' 또는 '''[Borwein98] 참조''' |
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− | + | ===<math>\sqrt{-1}</math>=== | |
+ | ; 정리 | ||
+ | :<math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots \label{ellk1}</math> | ||
+ | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분]] 항목 참조 | ||
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− | + | ; 정리 | |
− | + | :<math>K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}</math> | |
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− | <math>K(\frac{ | + | ===<math>\sqrt{-3}</math>=== |
+ | ; 정리 | ||
+ | :<math>K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\sqrt[4]{3}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt{\pi}}=2.768063\cdots</math> | ||
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− | ---- | + | <math>\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>, <math>\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> 이므로 [[타원곡선의 주기]]에서 얻은 결과를 활용하면, 다음을 얻는다 |
+ | :<math>K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - \sqrt{3}u + 1)}}</math> | ||
+ | 여기서 <math>v=\sqrt{3}u-1</math> 으로 치환하면, <math>u(u^2 - \sqrt{3}u+ 1) = 3^{-3/2}(1 + v^3)</math> | ||
+ | 따라서 | ||
+ | :<math> | ||
+ | \begin{aligned} | ||
+ | \int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - \sqrt{3}u + 1)}}&=\sqrt[4]{3}\int_{-1}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}=\sqrt[4]{3}(\int_{-1}^{0} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}+\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}) \\ | ||
+ | &=\sqrt[4]{3}(\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{1-v^3}}+\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{1+v^3}}) \\ | ||
+ | &=\frac{\sqrt[4]{3}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{2\sqrt{\pi}}=5.536129 | ||
+ | \cdots | ||
+ | \end{aligned} | ||
+ | </math> | ||
+ | 마지막에서 다음을 이용하였음. (이에 대한 증명은 [[오일러 베타적분(베타함수)]] 항목 참조) | ||
+ | :<math>\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{1-v^3}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{6\sqrt{\pi}}</math> | ||
+ | :<math>\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{1+v^3}}=\frac{ \Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{3\sqrt{\pi }}</math> ■ | ||
− | <math>K( | + | ;정리 |
+ | :<math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots</math> | ||
+ | ;증명1 | ||
+ | 다음 사실을 이용 | ||
+ | :<math>\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}</math> ■ | ||
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− | + | ;증명2 | |
+ | <math>\cos \frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>, <math>\cos \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> 이므로 [[타원곡선의 주기]]의 결과를 활용하면 다음을 얻는다 | ||
+ | :<math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 + \sqrt{3}u + 1)}}</math> | ||
+ | 여기서 <math>v=\sqrt{3}u+1</math> 으로 치환하면, <math>u(u^2 + \sqrt{3}u+ 1) = 3^{-3/2}(v^3-1)</math> | ||
+ | 따라서 | ||
+ | :<math>\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2+ \sqrt{3}u + 1)}}=\sqrt[4]{3}\int_{1}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3-1}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{2\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=3.1962840\cdots</math> ■ | ||
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− | + | ===<math>\sqrt{-4}</math>=== | |
− | - | + | ;정리 |
+ | :<math>K\left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots</math> | ||
− | <math>K\ | + | ;증명 |
+ | [[란덴변환(Landen's transformation)]] | ||
+ | :<math>K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k)</math> | ||
+ | 을 이용하자. 여기서 <math>k=3-2\sqrt{2}</math>라 두면, 다음을 얻는다 | ||
+ | :<math>\frac{2\sqrt{k}}{1+k}=\frac{1}{\sqrt{2}}</math> | ||
+ | 따라서 다음이 성립한다 | ||
+ | :<math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=(4-2\sqrt{2})K(3-2\sqrt{2})</math> | ||
+ | \ref{ellk1}로부터 다음을 얻는다 | ||
+ | :<math>K\left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots</math> ■ | ||
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− | + | ===Chowla-셀베르그의 정리=== | |
+ | ;정리 | ||
+ | <math>k</math>에 대하여, 다음의 값 :<math>i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}</math> 이 <math>d_F</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>F=\mathbb{Q}(\sqrt{d_F})</math>의 원소일 때, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다 | ||
+ | :<math>{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{\frac{w_{F}}{4h_{F}}}</math> 여기서 <math>\lambda</math>는 적당한 [[대수적수론|대수적수]]. | ||
+ | * [[Chowla-셀베르그 공식]] 항목 참조 | ||
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− | + | ==메모== | |
+ | * http://mathoverflow.net/questions/87551/can-elliptic-integral-singular-values-generate-cubic-polynomials-with-integer-co | ||
+ | * <math>K(2\sqrt{2}-2)</math> | ||
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− | + | ==역사== | |
− | + | * [[수학사 연표]] | |
− | + | ||
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− | + | ==관련된 항목들== | |
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− | + | * [[Chowla-셀베르그 공식]] | |
+ | * [[단진자의 주기와 타원적분]] | ||
+ | * [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]] | ||
+ | * [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]] | ||
+ | * [[란덴변환(Landen's transformation)]] | ||
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− | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
− | + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbkozeFVSbVBmX0k/edit | |
− | + | * http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValue.html | |
− | + | * http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValuek1.html | |
− | + | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | |
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− | * | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/타원적분 |
* http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral | * http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral | ||
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− | + | ==관련논문== | |
− | * '''[Zucker77]'''[http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-abs_connect?fforward=http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100053731 The evaluation in terms of Γ-functions of the periods of elliptic curves admitting complex multiplication] | + | * '''[Zucker77]'''[http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-abs_connect?fforward=http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100053731 The evaluation in terms of Γ-functions of the periods of elliptic curves admitting complex multiplication] |
− | ** Zucker, I. J. | + | ** Zucker, I. J. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, (1977), vol 82 : 111-118 |
− | * [http://www.jstor.org/stable/2005214 A Closed Form Evaluation of the Elliptic Integral] | + | * [http://www.jstor.org/stable/2005214 A Closed Form Evaluation of the Elliptic Integral] |
** M. L. Glasser and V. E. Wood, Mathematics of Computation, Vol. 25, No. 115 (Jul., 1971), pp. 535-536 | ** M. L. Glasser and V. E. Wood, Mathematics of Computation, Vol. 25, No. 115 (Jul., 1971), pp. 535-536 | ||
− | * [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function] | + | * [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function] |
− | ** S. Chowla; A. Selberg, | + | ** S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967 |
− | * [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063041/ On Epstein's Zeta Function (I)] | + | * [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063041/ On Epstein's Zeta Function (I)] |
** S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374 | ** S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374 | ||
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− | + | ==관련도서== | |
− | * '''[Borwein98]'''[http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM] | + | * '''[Borwein98]'''[http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM] |
− | ** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, | + | ** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Wiley-Interscience (July 13, 1998) |
− | ** 26-28p, | + | ** 26-28p, 51p, 67p, 139p, 298p |
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− | + | ==블로그== | |
− | + | * [http://sos440.springnote.com/pages/4400347 계산노트 #006] | |
− | + | ** sos440 | |
− | + | [[분류:타원적분]] | |
− | + | [[분류:특수함수]] | |
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− | + | ==메타데이터== | |
− | + | ===위키데이터=== | |
− | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1126603 Q1126603] | |
− | * | + | ===Spacy 패턴 목록=== |
− | + | * [{'LOWER': 'elliptic'}, {'LEMMA': 'integral'}] | |
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− | * [ |
2021년 2월 17일 (수) 05:59 기준 최신판
개요
- 제1종 완전타원적분
\[K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]
- 타원곡선의 주기이다
- \(k\)가 타원적분의 singular value 일때(타원적분의 singular value k), 일종타원적분의 값을 구하는 문제
- 19세기부터 많이 연구된 타원 함수 이론의 고전적인 문제이며, complex multiplication 이론, 타원곡선의 periods 의 틀에서 이해할 수 있음
- \(K(k)\)의 값을 감마함수의 값의 곱으로 표현
- 아래에 몇가지 예가 제시
란덴변환
- 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
\[K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k)\]
- \(k'=\sqrt{1-k^2}\)라 두면
\[2K(\frac{1-k'}{1+k'})=(1+k')K(k)\]
초기하함수를 이용한 표현
- 오일러-가우스 초기하함수2F1를 이용한 표현
\[K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\] \[K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\]
(증명)
\[K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} k^{2n}\sin^{2n}\theta{d\theta} \]
\[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\] 이므로 (오일러 베타적분(베타함수) 항목 참조)
\[K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\]■
맴돌이군
- \(z=k^2\)로 두고, \(w(z)=\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)\) 라 하자\[K(k)=w(z)=w(k^2)\]\[K(k')=w(1-z)=w(1-k^2)\]
- \(w(z)\)는 다음 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)을 만족시킨다\[z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(1-2z)\frac{dw}{dz}-\frac{1}{4}w = 0\]
- \(w_1(z)=w(z)\)와 \(w_2=w(1-z)\)는 이 미분방정식의 선형독립인 두 해이다
- 맴돌이군과 미분방정식 항목 참조
singular values
- 자연수 \(n \) 에 대하여, 다음을 만족시키는 \(k\)를 타원적분의 singular value 라 한다
\[\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n \]
- 타원적분 singular value k 항목 참조
- 예\[\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1\]\[\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}\]\[\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\]\[\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}\right)= \sqrt{4}\]
special values
예
\(K(0) = \frac{\pi}{2}\)
\(K(1) = \infty\)
\(K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)
\(K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\)
\(K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\sqrt[4]{3}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt{\pi}}=2.768063\cdots\)
\(K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots\)
\(K\left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots\)
- 더 자세한 목록은 [Zucker77] 또는 [Borwein98] 참조
\(\sqrt{-1}\)
- 정리
\[K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots \label{ellk1}\]
\(\sqrt{-2}\)
- 정리
\[K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\]
\(\sqrt{-3}\)
- 정리
\[K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\sqrt[4]{3}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt{\pi}}=2.768063\cdots\]
- 증명
\(\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), \(\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) 이므로 타원곡선의 주기에서 얻은 결과를 활용하면, 다음을 얻는다 \[K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - \sqrt{3}u + 1)}}\] 여기서 \(v=\sqrt{3}u-1\) 으로 치환하면, \(u(u^2 - \sqrt{3}u+ 1) = 3^{-3/2}(1 + v^3)\) 따라서 \[ \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - \sqrt{3}u + 1)}}&=\sqrt[4]{3}\int_{-1}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}=\sqrt[4]{3}(\int_{-1}^{0} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}+\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}) \\ &=\sqrt[4]{3}(\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{1-v^3}}+\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{1+v^3}}) \\ &=\frac{\sqrt[4]{3}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{2\sqrt{\pi}}=5.536129 \cdots \end{aligned} \] 마지막에서 다음을 이용하였음. (이에 대한 증명은 오일러 베타적분(베타함수) 항목 참조) \[\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{1-v^3}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{6\sqrt{\pi}}\] \[\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{1+v^3}}=\frac{ \Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{3\sqrt{\pi }}\] ■
- 정리
\[K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots\]
- 증명1
다음 사실을 이용 \[\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\] ■
- 증명2
\(\cos \frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\), \(\cos \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) 이므로 타원곡선의 주기의 결과를 활용하면 다음을 얻는다 \[K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 + \sqrt{3}u + 1)}}\] 여기서 \(v=\sqrt{3}u+1\) 으로 치환하면, \(u(u^2 + \sqrt{3}u+ 1) = 3^{-3/2}(v^3-1)\) 따라서 \[\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2+ \sqrt{3}u + 1)}}=\sqrt[4]{3}\int_{1}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3-1}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{2\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=3.1962840\cdots\] ■
\(\sqrt{-4}\)
- 정리
\[K\left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots\]
- 증명
란덴변환(Landen's transformation) \[K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k)\] 을 이용하자. 여기서 \(k=3-2\sqrt{2}\)라 두면, 다음을 얻는다 \[\frac{2\sqrt{k}}{1+k}=\frac{1}{\sqrt{2}}\] 따라서 다음이 성립한다 \[K(\frac{1}{\sqrt{2}})=(4-2\sqrt{2})K(3-2\sqrt{2})\] \ref{ellk1}로부터 다음을 얻는다 \[K\left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots\] ■
Chowla-셀베르그의 정리
- 정리
\(k\)에 대하여, 다음의 값 \[i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\] 이 \(d_F\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(F=\mathbb{Q}(\sqrt{d_F})\)의 원소일 때, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다 \[{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{\frac{w_{F}}{4h_{F}}}\] 여기서 \(\lambda\)는 적당한 대수적수.
- Chowla-셀베르그 공식 항목 참조
메모
- http://mathoverflow.net/questions/87551/can-elliptic-integral-singular-values-generate-cubic-polynomials-with-integer-co
- \(K(2\sqrt{2}-2)\)
역사
관련된 항목들
- Chowla-셀베르그 공식
- 단진자의 주기와 타원적분
- 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli
- 오일러 베타적분
- 란덴변환(Landen's transformation)
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbkozeFVSbVBmX0k/edit
- http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValue.html
- http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValuek1.html
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
사전 형태의 자료
관련논문
- [Zucker77]The evaluation in terms of Γ-functions of the periods of elliptic curves admitting complex multiplication
- Zucker, I. J. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, (1977), vol 82 : 111-118
- A Closed Form Evaluation of the Elliptic Integral
- M. L. Glasser and V. E. Wood, Mathematics of Computation, Vol. 25, No. 115 (Jul., 1971), pp. 535-536
- On Epstein's Zeta-function
- S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
- On Epstein's Zeta Function (I)
- S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
관련도서
- [Borwein98]Pi and the AGM
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Wiley-Interscience (July 13, 1998)
- 26-28p, 51p, 67p, 139p, 298p
블로그
- 계산노트 #006
- sos440
메타데이터
위키데이터
- ID : Q1126603
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'elliptic'}, {'LEMMA': 'integral'}]