콕세터 군의 차수와 지수 (degrees and exponents)

개요

• 지수는 콕세터 원소의 고유값에서 등장
• 차수는 불변량이론에서 등장

지수(exponent)

• \(h\) : 콕세터 수
• 콕세터 원소의 고유값은 언제나 적당한 정수 \(m_i\)와 크기 \(h\)의 원시단위근 \(\zeta\)에 대하여 \(\zeta^{m_i}\) 꼴로 쓰여진다.
• 정수 \(m_i\), \(1\leq m_i\leq h-1\)를 콕세터 군의 지수라 부른다
• 지수를 \(m_1\le \cdots \le m_r\)이라 두면, \(m_i+m_{r-i+1}=h\)이 성립하고, 여기서 \(r\)은 rank
• 카르탄 행렬의 고유값은 \(4\sin^2(m_{i}\pi/2h)\)
• 인접행렬(adjacency matrix)의 고유값은 \(2\cos(\pi m_i/h)\)

예

• \(A_4\)의 콕세터 수는 5
• 카트탄 행렬

\[\left( \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right)\]

• 딘킨 다이어그램의 인접행렬은

\[\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\]

• 인접행렬의 고유값

\[\left\{\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{5}\right),\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right),\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right),\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{5}\right)\right\}\]

예

• \(E_8\)의 경우, 콕세터원소의 특성다항식은 다음과 같다

\[ x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1 \] 이는 원분다항식(cyclotomic polynomial) \(\Phi_{30}(x)\)으로 \[ \Phi_n(x) =\prod_{1\le k\le n,\gcd(k,n)=1}\left(x-e^{2i\pi\frac{k}{n}}\right). \]

• 해는 \(\left\{\zeta ,\zeta ^7,\zeta ^{11},\zeta ^{13},\zeta ^{17},\zeta ^{19},\zeta ^{23},\zeta ^{29}\right\}\)로 주어지며, 여기서 \(\zeta\)는 크기 30인 원시단위근

성질

정리 (Kostant, 1959)

콕세터 군의 지수를 \(m_1\le \cdots\le m_n\), 차수를 \(k_1\le \cdots\le k_n\)라 하자. 그러면 \[ m_i=k_i-1. \] 이고 다음이 성립한다 \[ \sum_{}m_i=\sum_{}(k_i-1)=\frac{nh}{2}=|\Phi^{+}| \]

• 이는 콕세터의 추측
• 유한 콕세터 군 \(W\)의 차수를 \(k_1\le \cdots \le k_n\)이라 하면, 다음이 성립한다

\[ |W|=k_1\cdots k_n \]

homological algebraic characterization

• For a semisimple. Lie algebra L
• \(H^{\bullet}(L)\) is a free super-commutative algebra with homogeneous generator in degrees \(2m_1+1,\cdots,2m_l+1\)

테이블

\[ \begin{array}{c|ccccc} & \text{rank} & \text{degree} & \text{exponent} & \text{order} & \text{Coxeter} \\ \hline A_n & n & 2,3,\cdots, n+1 & 1,2,\cdots, n& (n+1)! & n+1 \\ B_n/C_n & n & 2,4,6,\cdots,2n & 1,3,5,\cdots,2n-1 & 2^n n! & 2 n \\ D_n & n & 2,4,6,\cdots 2n-2, n & 1,3,5,\cdots,2n-3, n-1 & 2^{n-1} n! & 2 n-2 \\ E_6 & 6 & 2,5,6,8,9,12 & 1,4,5,7,8,11 & 51840 & 12 \\ E_7 & 7 & 2,6,8,10,12,14,18 & 1,5,7,9,11,13,17 & 2903040 & 18 \\ E_8 & 8 & 2,8,12,14,18,20,24,30 & 1,7,11,13,17,19,23,29 & 696729600 & 30 \\ F_4 & 4 & 2,6,8,12 & 1,5,7,11 & 1152 & 12 \\ G_2 & 2 & 2,6 & 1,5 & 12 & 6 \\ H_3 & 3 & 2,6,10 & 1,5,9 & 120 & 10 \\ H_4 & 4 & 2,12,20,30 & 1,11,19,29 & 14400 & 30 \\ I_2(m) & 2 & 2,m & 1,m-1 & 2 m & m \end{array} \]

메모

• http://mathoverflow.net/questions/143548/uniform-proof-that-a-finite-reflection-group-is-determined-by-its-degrees
• Let \(W\) be a unitary reflection group on \(V\) and \(S=\operatorname{Sym}(V^{*})\). If one picks a minimal set of homogeneous algebra generators \(f_1,\cdots, f_n\) for

\(S^W\), that is, \(S^W=\mathbb{C}[f_1,\cdots,f_n]\), then their degrees \(d_1,\cdots,d_n\) are called the fundamental degrees.

역사

• 193? 콕세터
• Kostant, Steinberg, Chevalley, Coleman

related items

• 유한반사군과 콕세터 군(finite reflection groups and Coxeter groups)
• 콕세터 원소(Coxeter element)
• 콕세터 군의 푸앵카레 급수
• 몰리엔 정리 (Molien's theorem)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTFpCRWVjZTJrS00/edit

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Coxeter_number

관련논문

• http://arxiv.org/abs/1110.6620
• Damianou, Pantelis A. “A Beautiful Sine Formula.” American Mathematical Monthly 121, no. 2 (2014): 120–35. doi:10.4169/amer.math.monthly.121.02.120.
• Burns, John M., and Ruedi Suter. 2012. “Power Sums of Coxeter Exponents.” Advances in Mathematics 231 (3-4): 1291–1307. doi:10.1016/j.aim.2012.06.020.
• Kostant, Bertram. “The Principal Three-Dimensional Subgroup and the Betti Numbers of a Complex Simple Lie Group.” American Journal of Mathematics 81 (1959): 973–1032.
• Coleman, A. J. “The Betti Numbers of the Simple Lie Groups.” Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques 10 (1958): 349–56.

메타데이터

위키데이터

• ID : Q5179941

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'coxeter'}, {'LEMMA': 'element'}]