클라우센 함수(Clausen function)
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개요
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클라우센 함수
\(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
로그 사인 적분 (log sine integrals) 으로 일반화된다
- 로바체프스키 함수 와의 관계
\(Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\)
dilogarithm 함수와의 관계
- dilogarithm 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
- \(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
\(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속 - \(z=e^{2i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때,
\(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}\)
\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때, \(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\)
special values
- \(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\)
\(G\)는 카탈란 상수 - http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
\(\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)\)
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Clausen_function
- http://mathworld.wolfram.com/ClausensIntegral.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- A dilogarithmic integral arising in quantum field theory
- Djurdje Cvijović, J. Math. Phys. 50, 023515 (2009)
- On a three-dimensional symmetric Ising tetrahedron and contributions to the theory of the dilogarithm and Clausen functions
- Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 043510 (2008); doi:10.1063/1.2902996
- Evaluation of a ln tan integral arising in quantum field theory
- Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311
- [1]Formulae concerning the computation of the Clausen integral Cl2(θ)
- C.C. Grosjean, J. Comput. Appl. Math. 11 (1984), pp. 331–342
- On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral
- P. J. de Doelder, J. Comput. Appl. Math. 11, 325 (1984)
- Efficient Calculation of Clausen's Integral
- Van E. Wood, Mathematics of Computation, Vol. 22, No. 104 (Oct., 1968), pp. 883-884
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