클라우센 함수(Clausen function)

수학노트
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개요

  • 정의\[\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\]



다이로그 함수와의 관계

\[\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\]

  • \(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
  • \(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때\[\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\]\[\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=\operatorname{Cl}_2(\theta)\]
  • 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)



덧셈공식

\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)



트리감마 함수와 special values



역사




메모

\(\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)\)


관련된 항목들


사전 형태의 자료



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