"타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)"의 두 판 사이의 차이
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− | 복소상반평면의 대수적 수 <math>\tau\in \mathbb{H} \cap \bar{\mathbb{Q}}</math>에 대하여, <math>\tau</math>가 | + | * 복소상반평면의 대수적 수 <math>\tau\in \mathbb{H} \cap \bar{\mathbb{Q}}</math>에 대하여, <math>\tau</math>가 2차(imaginary quadratic)가 아니면, <math>j(\tau)</math>는 초월수이다. |
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− | <math>j(\tau)</math> | ||
2011년 10월 9일 (일) 12:16 판
이 항목의 스프링노트 원문주소[[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|]]
개요
- j-invariant
- 클라인의 absolute j-invariant 라는 이름으로 불리기도 함
- 타원 모듈라 함수(elliptic modular function) 로 불리기도 함
- 몬스터 군의 monstrous moonshine에 등장
여러가지 (같은) 정의들
\(j(\tau)= {E_4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}=\frac{(1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n)^3}{q-24q+252q^2+\cdots} =q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots\)
여기서 \(q=e^{2\pi i\tau}\)
\( E_4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots\) (아이젠슈타인 급수(Eisenstein series))
\((\sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3)\)
\(\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots\)
\(j(\tau)=1728\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}\)
singular moduli
- quadratic imaginary number 에서의 값들
\( j(\sqrt{-1})=1728=12^3\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2})=0\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-7}}{2})=-3375=-15^3\)
\( j(\sqrt{-2})=8000=20^3\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-11}}{2})=-32768=-32^3\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-19}}{2})=-884736=-96^3\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-43}} {2})=-884736000=-960^3\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-67}} {2})=-147197952000=-5280^3\)
\( j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3\)
\( j(\sqrt{-3})=54000=2(30)^3\)
\( j(\sqrt{-4})=287496=(66)^3\)
\( j(\sqrt{-7})=16581375=(255)^3\)
\(j(\frac {-1+3\sqrt{-3}}{2})=-12288000=-3(160)^3\)
\( j(\sqrt{-5})=632000+282880 \sqrt{5}=(50+26\sqrt{5})^3\)
\(j(\frac {-1+\sqrt{-5}}{2})=632000-282880 \sqrt{5}=(50-26\sqrt{5})^3\)
슈나이더의 정리
- 복소상반평면의 대수적 수 \(\tau\in \mathbb{H} \cap \bar{\mathbb{Q}}\)에 대하여, \(\tau\)가 2차(imaginary quadratic)가 아니면, \(j(\tau)\)는 초월수이다.
푸리에계수
- 1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000521
재미있는 사실
관련된 단원
메모
- Hilbert class fields of imaginary quadratic fields are generated by singular moduli
- 확인필요
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 다른 주제들
- 타원적분, 타원함수, 타원곡선
- 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
- 가우스의 class number one 문제
- 숫자 163
- 몬스터 군
- 라마누잔의 class invariants
- 하디-라마누잔-라데마커 분할수 공식
사전형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- [1]http://en.wikipedia.org/wiki/j-invariant
- http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=ramanujan
관련도서 및 추천도서
- Ranestad, Kristian, ed. 2008. The 1-2-3 of Modular Forms. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. http://www.springerlink.com/content/r351n3u4608rm816/.
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문과 에세이
- On the Modular Function and Its Importance for Arithmetic
- Paula B. Cohen, Lecture Notes in Physics Volume 550/2000 388-397
- The Ramanujan Constant. An Essay on Elliptic Curves, Complex. Multiplication and Modular Forms.
- B.J.Green
- On singular moduli.
- Gross, B.H.; Zagier, Don B, J. Rcinc Angew. Math. 355 (1984), 191-220
- Class-Numbers of Complex Quadratic Fields
- H. M. Stark, from Modular Functions of One Variable I, 1973
- Properties of the Coefficients of the Modular Invariant J(τ)
- D. H. Lehmer, American Journal of Mathematics, Vol. 64, No. 1 (1942), pp. 488-502
- The Fourier coefficients of the modular invariant j(τ)
- Rademacher, Hans (1938), American Journal of Mathematics 60 (2): 501–512
- H. Petersson: [1]. "fiber die Entwicklungskoefficienten der automorphen Formen," Acta, Mathe- matica, vol. 58 (1932), p. 202.
- http://dx.doi.org/
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