타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 6월 13일 (수) 16:51 판
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개요
  • j-invariant
    • 클라인의 absolute j-invariant 라는 이름으로 불리기도 함
  • 타원 모듈라 함수(elliptic modular function) 로 불리기도 함
  • 몬스터 군의 monstrous moonshine에 등장

 

 

여러가지 (같은) 정의들

\(j(\tau)= {E_4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}=\frac{(1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n)^3}{q-24q+252q^2+\cdots} =q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots\)

여기서 \(q=e^{2\pi i\tau}\)

\( E_4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots\) (아이젠슈타인 급수(Eisenstein series))

\((\sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3)\)

\(\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots\)

\(j(\tau)=1728\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}\)

 

singular moduli

 

 

푸리에계수
  • 1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184
  • [1]http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000521
  • 근사식 [Rademacher1938]
    \(c(n)=\frac{2\pi}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^\infty \frac{A_k(n)}{k}I_{1}(\frac{4\pi\sqrt{n}}{k})\)
    \(I_1\) 은 베셀함수
    \(A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{-2\pi i(nh+h')/k }\)\(hh'\equiv -1 \mod k\)

 

 

슈나이더의 정리
  • 복소상반평면의 대수적 수 \(\tau\in \mathbb{H} \cap \bar{\mathbb{Q}}\)에 대하여, \(\tau\)가 2차(imaginary quadratic)가 아니면, \(j(\tau)\)는 초월수이다.

 

 

 

메모
  • Hilbert class fields of imaginary quadratic fields are generated by singular moduli
  • 확인필요
     

 

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