"포드 원 (Ford Circles)"의 두 판 사이의 차이
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* <math>p,q</math>가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 <math>x</math> 좌표들은 기약분수들이 되겠다. | * <math>p,q</math>가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 <math>x</math> 좌표들은 기약분수들이 되겠다. | ||
* 서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다. | * 서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다. | ||
* 접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?<br> | * 접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?<br> | ||
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* 서로 접하는 세 포드 원 사이에는?<br> | * 서로 접하는 세 포드 원 사이에는?<br> | ||
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** 뭔가 발견했는가? | ** 뭔가 발견했는가? | ||
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* 서로 접하는 세 원의 중심의 <math>x</math> 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) Farey Series 를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가? | * 서로 접하는 세 원의 중심의 <math>x</math> 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) Farey Series 를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가? | ||
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# 서로 겹치는 두 포드 원은 없음. | # 서로 겹치는 두 포드 원은 없음. | ||
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위 그림에서, 점 <math>A</math> 에서 선분 <math>\overline{BG}</math> 위에 내린 발을 <math>C</math> 라 하자. 그러면 삼각형 <math>\triangle ACB</math> 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면, | 위 그림에서, 점 <math>A</math> 에서 선분 <math>\overline{BG}</math> 위에 내린 발을 <math>C</math> 라 하자. 그러면 삼각형 <math>\triangle ACB</math> 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면, | ||
| − | <math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 각 변의 길이를 구해서 | + | <math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 <math>\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}</math> 를 얻는다. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28P%2FQ+-+p%2Fq%29%5E2+%2B+%281%2F%282+Q%5E2%29+-+1%2F%282+q%5E2%29%29%5E2+-+%281%2F%282+q%5E2%29+%2B+1%2F%282+Q%5E2%29%29%5E2+%2F%2F+FullSimplify ) |
여기서, | 여기서, | ||
| − | i. | + | i. <math>|Pq -pQ|> 1</math> 이면, <math>\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다. |
| − | ii. | + | ii. <math>|Pq -pQ|= 1</math> 이면, <math>\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 접한다. (10-나 과정의 '두 원의 위치 관계' 참조) |
iii. <math>|Pq -pQ| <1</math> 일 수는 없다. | iii. <math>|Pq -pQ| <1</math> 일 수는 없다. | ||
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위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다. | 위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다. | ||
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2. 접하는 두 포드 원 사이의 관계 | 2. 접하는 두 포드 원 사이의 관계 | ||
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3. Farey Series 와의 관계 | 3. Farey Series 와의 관계 | ||
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* [[연분수와 유리수 근사]] | * [[연분수와 유리수 근사]] | ||
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmU5NDhlZGMtYWU5MS00YThiLWFiZjEtNjk4N2FmZWI5ZmQy&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmU5NDhlZGMtYWU5MS00YThiLWFiZjEtNjk4N2FmZWI5ZmQy&sort=name&layout=list&num=50 | ||
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* [[매스매티카 파일 목록]] | * [[매스매티카 파일 목록]] | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circles | * http://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circles | ||
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* [[3210238/attachments/1980825|Ford_Circle.pdf]]<br> | * [[3210238/attachments/1980825|Ford_Circle.pdf]]<br> | ||
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** 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일, 이광연 | ** 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일, 이광연 | ||
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| − | + | ==관련논문== | |
* Ford193 | * Ford193 | ||
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions] L. R. Ford, | + | * [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions] L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601 |
2012년 10월 21일 (일) 05:11 판
개요
1.gif)
- \(p,q\)가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 \((\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})\) 이고, 반지름이 \(\frac{1}{2q^2}\)인 원을 포드 원이라 함
- \(y=0\)에 접함
2.gif)
관찰
위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 \(x\) 좌표이다.)
- \(p,q\)가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 \(x\) 좌표들은 기약분수들이 되겠다.
- 서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다.
- 접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
- \(\frac35 , \frac23\) \(\frac35 , \frac58\) \(\frac58, \frac23\) \(\frac58, \frac{7}{11}\) ...
- \(10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1\)
- 서로 접하는 세 포드 원 사이에는?
- \(\frac35, \frac58 , \frac23\) \(\frac35, \frac{8}{13} , \frac58\) \(\frac58, \frac{7}{11} , \frac23\) \(\frac47, \frac{7}{12} , \frac35\)
- 뭔가 발견했는가?
이제 Farey series 를 읽고 다시 돌아오자. (오른쪽 클릭 - 새 탭 열기/새 창 열기)
- 서로 접하는 세 원의 중심의 \(x\) 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) Farey Series 를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가?
관찰의 증명
- 서로 겹치는 두 포드 원은 없음.
Proof.
아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(p/q\) 인 원이고, 원 B 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(P/Q\) 인 원이다. (\(p,q, P, Q\) 는 자연수, \(gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1\))
[/pages/3210238/attachments/2009497 fig1.jpg]
위 그림에서, 점 \(A\) 에서 선분 \(\overline{BG}\) 위에 내린 발을 \(C\) 라 하자. 그러면 삼각형 \(\triangle ACB\) 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,
\(\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2\) 이다. 포드 원의 정의에서 \(A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )\) 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 \(\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}\) 를 얻는다. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28P%2FQ+-+p%2Fq%29%5E2+%2B+%281%2F%282+Q%5E2%29+-+1%2F%282+q%5E2%29%29%5E2+-+%281%2F%282+q%5E2%29+%2B+1%2F%282+Q%5E2%29%29%5E2+%2F%2F+FullSimplify )
여기서,
i. \(|Pq -pQ|> 1\) 이면, \(\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}\) 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.
ii. \(|Pq -pQ|= 1\) 이면, \(\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}\) 이므로, 두 원은 접한다. (10-나 과정의 '두 원의 위치 관계' 참조)
iii. \(|Pq -pQ| <1\) 일 수는 없다.
왜냐하면, \(p,q, P, Q\) 는 자연수이므로 \(Pq -pQ = 0\) 이면, \(p/q \ne P/Q\) 에 모순이기 때문이다.
위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다.
2. 접하는 두 포드 원 사이의 관계
\(x\) 좌표가 \(p/q\) 인 포드 원을 \(C[p/q]\) 라고 쓰자.
접하는 두 포드 원 \(C[b/a]\) 과 \(C[d/c]\) 가 있으면, \(|ad - bc| = 1\) 이다.
Proof.
관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다.
3. Farey Series 와의 관계
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스3210238/attachments/5216306
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmU5NDhlZGMtYWU5MS00YThiLWFiZjEtNjk4N2FmZWI5ZmQy&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
사전형태의 자료
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Ford_Circle.pdf
- 애기똥풀
- 바보셈에서 페리수열
- 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일, 이광연
관련논문
- Ford193
- Fractions L. R. Ford, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601