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3. Farey Series 와의 관계 | 3. Farey Series 와의 관계 | ||
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| − | * [[모듈라 군 | + | * [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]] |
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* [[연분수와 유리수 근사]] | * [[연분수와 유리수 근사]] | ||
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==리뷰, 에세이, 강의노트== | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | ||
| − | * [[3210238 | + | * 애기똥풀, [[파일:3210238-Ford Circle.pdf]] |
* 이광연, [http://navercast.naver.com/science/math/1049 바보셈에서 페리수열], 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일 | * 이광연, [http://navercast.naver.com/science/math/1049 바보셈에서 페리수열], 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일 | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
* Athreya, Jayadev, Sneha Chaubey, Amita Malik, and Alexandru Zaharescu. “Geometry of Farey-Ford Polygons.” arXiv:1410.4908 [math], October 18, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4908. | * Athreya, Jayadev, Sneha Chaubey, Amita Malik, and Alexandru Zaharescu. “Geometry of Farey-Ford Polygons.” arXiv:1410.4908 [math], October 18, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4908. | ||
* [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions] L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601 | * [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions] L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601 | ||
2015년 11월 27일 (금) 21:27 판
개요
- \(p,q\)가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 \((\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})\) 이고, 반지름이 \(\frac{1}{2q^2}\)인 원을 포드 원이라 함
- \(x\)-축에 접한다
1.gif)
관찰
- 위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 \(x\) 좌표이다.)
- \(p,q\)가 서로소인 자연수이므로, 원 중심의 \(x\) 좌표들은 기약분수이다.
- 서로 다른 두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.
- 접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
- \(\frac35 , \frac23\)
- \(\frac35 , \frac58\)
- \(\frac58, \frac23\)
- \(\frac58, \frac{7}{11}\)
- \(10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1\)
- 서로 접하는 세 포드 원 사이에는?
- \(\frac35, \frac58 , \frac23\)
- \(\frac35, \frac{8}{13} , \frac58\)
- \(\frac58, \frac{7}{11} , \frac23\)
- \(\frac47, \frac{7}{12} , \frac35\)
- 서로 접하는 세 원의 중심의 \(x\) 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) 패리 수열(Farey series)를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가?
관찰의 증명
- 정리
두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.
- 증명
아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(p/q\) 인 원이고, 원 B 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(P/Q\) 인 원이다. (\(p,q, P, Q\) 는 자연수, \(gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1\))
3.gif)
위 그림에서, 점 \(A\) 에서 선분 \(\overline{BG}\) 위에 내린 발을 \(C\) 라 하자. 그러면 삼각형 \(\triangle ACB\) 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,
\(\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2\) 이다. 포드 원의 정의에서 \(A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )\) 이므로, 다음이 성립한다 $$ \overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2} $$
여기서,
i. \(|Pq -pQ|> 1\) 이면, \(\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}\) 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.
ii. \(|Pq -pQ|= 1\) 이면, \(\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}\) 이므로, 두 원은 접한다.
iii. \(|Pq -pQ| <1\) 일 수는 없다.
왜냐하면, \(p,q, P, Q\) 는 자연수이므로 \(Pq -pQ = 0\) 이면, \(p/q \ne P/Q\) 에 모순이기 때문이다.
위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다. ■
- 정리
\(x\) 좌표가 \(p/q\) 인 포드 원을 \(C[p/q]\) 라고 쓰자. 두 포드 원 \(C[b/a]\) 과 \(C[d/c]\)이 접하면, \(|ad - bc| = 1\) 이 성립한다.
- 증명
관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다. ■
3. Farey Series 와의 관계
메모
2.gif)
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://drive.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNmU5NDhlZGMtYWU5MS00YThiLWFiZjEtNjk4N2FmZWI5ZmQy/view
- http://mathematica.stackexchange.com/questions/100628/wiggly-and-imprecise-animated-gif-output
사전형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- 애기똥풀, 파일:3210238-Ford Circle.pdf
- 이광연, 바보셈에서 페리수열, 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일
관련논문
- Athreya, Jayadev, Sneha Chaubey, Amita Malik, and Alexandru Zaharescu. “Geometry of Farey-Ford Polygons.” arXiv:1410.4908 [math], October 18, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4908.
- Fractions L. R. Ford, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601