"푸앵카레 unit disk 모델"의 두 판 사이의 차이

2013년 1월 12일 (토) 11:50 판

개요

쌍곡기하학의 모델
푸앵카레 상반평면 모델 과 동형

정의

\(\mathbb{D}^2=\{z=x+iy\in \mathbb{C}:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}\)

제1기본형식

리만 메트릭\[ds^2=\frac{4(dx^2+dy^2)}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}=\frac{4dzd\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}\]

\(E=\frac{4}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}\)
\(F=0\)
\(G=\frac{4}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}\)

크리스토펠 기호

크리스토펠 기호\[\begin{array}{ll} \Gamma _ {11}^1 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {12}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {21}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {22}^1 & \frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {11}^2 & \frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {12}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {21}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {22}^2 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \end{array}\]
가우스곡률 은 -1 이다

라플라시안

라플라시안\[\Delta f=\frac{1}{4} \left(1-x^2-y^2\right)^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)\]

측지선

측지선이 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다

\[\frac{d^2 x}{dt^2} + \Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt} +\Gamma^{1}_{~2 1}\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt}= 0\] \[\frac{d^2 y }{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dx }{dt}+\Gamma^{2}_ {~2 2}\frac{dy }{dt}\frac{dy }{dt} = 0\]

계산된 크리스토펠 심볼을 사용하면\[x''(t)+\frac{2 x y'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{2 x x'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{4 y x'(t) y'(t)}{x^2+y^2-1}=0\]\[y''(t)-\frac{2 y y'(t)^2}{x^2+y^2-1}+\frac{2 y x'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{4 x x'(t) y'(t)}{x^2+y^2-1}=0\]

리만 텐서

\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_ {111}^1 & 0 \\ R_ {112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {121}^1 & 0 \\ R_ {122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {211}^1 & 0 \\ R_ {212}^1 & -\frac{4}{\left(x^2+y^2-1\right)^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {221}^1 & \frac{4}{\left(x^2+y^2-1\right)^2} \\ R_ {222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {111}^2 & 0 \\ R_ {112}^2 & \frac{4}{\left(x^2+y^2-1\right)^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {121}^2 & -\frac{4}{\left(x^2+y^2-1\right)^2} \\ R_ {122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {211}^2 & 0 \\ R_ {212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {221}^2 & 0 \\ R_ {222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)

역사

메모

수학용어번역

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Henri Poincaré and the Disc Model of non-Euclidean Geometry

@@ 16번째 줄: / 16번째 줄: @@
 ==제1기본형식==
-*  리만 메트릭<br><math>ds^2=\frac{4(dx^2+dy^2)}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}=\frac{4dzd\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}</math><br>
+*  리만 메트릭:<math>ds^2=\frac{4(dx^2+dy^2)}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}=\frac{4dzd\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}</math><br>
 * <math>E=\frac{4}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}</math>
@@ 28번째 줄: / 28번째 줄: @@
 ==크리스토펠 기호==
-* [[크리스토펠 기호]]<br><math>\begin{array}{ll}  \Gamma _ {11}^1 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {12}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {21}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {22}^1 & \frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {11}^2 & \frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {12}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {21}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {22}^2 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \end{array}</math><br>
+* [[크리스토펠 기호]]:<math>\begin{array}{ll}  \Gamma _ {11}^1 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {12}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {21}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {22}^1 & \frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {11}^2 & \frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {12}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {21}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\  \Gamma _ {22}^2 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \end{array}</math><br>
 * [[가우스 곡률|가우스곡률]] 은 -1 이다
@@ 37번째 줄: / 37번째 줄: @@
 ==라플라시안==
-* [[라플라시안(Laplacian)|라플라시안]]<br><math>\Delta f=\frac{1}{4} \left(1-x^2-y^2\right)^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)</math><br>  <br>
+* [[라플라시안(Laplacian)|라플라시안]]:<math>\Delta f=\frac{1}{4} \left(1-x^2-y^2\right)^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)</math><br>  <br>
@@ 46번째 줄: / 46번째 줄: @@
 :<math>\frac{d^2 x}{dt^2} + \Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt} +\Gamma^{1}_{~2 1}\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt}= 0</math>
 :<math>\frac{d^2 y }{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dx }{dt}+\Gamma^{2}_ {~2 2}\frac{dy }{dt}\frac{dy }{dt} = 0</math><br>
-*  계산된 크리스토펠 심볼을 사용하면<br><math>x''(t)+\frac{2 x y'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{2 x x'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{4 y x'(t) y'(t)}{x^2+y^2-1}=0</math><br><math>y''(t)-\frac{2 y y'(t)^2}{x^2+y^2-1}+\frac{2 y x'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{4 x x'(t) y'(t)}{x^2+y^2-1}=0</math><br>
+*  계산된 크리스토펠 심볼을 사용하면:<math>x''(t)+\frac{2 x y'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{2 x x'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{4 y x'(t) y'(t)}{x^2+y^2-1}=0</math>:<math>y''(t)-\frac{2 y y'(t)^2}{x^2+y^2-1}+\frac{2 y x'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{4 x x'(t) y'(t)}{x^2+y^2-1}=0</math><br>