행렬의 곱셈

수학노트
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개요

고등학교 수학과정에서 행렬이 등장하고, 행렬의 곱셈도 정의한다. 그리고 행렬의 곱셈은 결합법칙을 만족시킨다는 것도 교과서도 나온다. 그러나 왜 행렬의 곱셈이 결합법칙을 만족시키는지는 제대로 설명해 주지 않는다. 행렬의 곱셈은 정의부터 이상하지 않았는가? \[\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\ \end{pmatrix}, \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
e & f \\
g & h \\ \end{pmatrix}\] 라고 한다면, 행렬의 곱셈은 \[\mathbf{AB} = \begin{pmatrix}
ae+ bg & af+bh \\
ce+dg & cf+dh \\ \end{pmatrix}\] 로 정의된다.

먼저 행렬의 곱셈은 왜 이렇게 괴상하게 정의된 것일까? 그 이유는 하나하나의 행렬들을 함수로 이해할 수 있다는 사실에서 찾을 수 있다.


행렬과 선형사상

2차원 평면상의 점 (x,y)를 (ex+fy, gx+hy)로 보내주는 함수 $f_{\mathbf{B}}$ 가 있다. 그리고 또 다른 함수 $f_{\mathbf{A}}$ 가 있어 (x,y)를 (ax+by,cx+dy)로 보내준다고 하자. 그렇다면 함수 $f_{\mathbf{B}}$와 $f_{\mathbf{A}}$의 합성은 (x,y)를 어디로 보낼까?

계산을 해 보면 이렇다. \[ f_{\mathbf{B}} : (x,y) \mapsto (ex+fy, gx+hy)\] \[ f_{\mathbf{A}} : (ex+fy, gx+hy) \mapsto \left( (ae+ bg)x+(af+bh)y, (ce+dg)x+(cf+dh)y \right)\]

이 결과를 가만히 잘 들여다 보면, 함수 $f_{\mathbf{B}}$의 역할을 행렬 B가 할 수 있고, 함수 $f_{\mathbf{A}}$의 역할을 행렬 A가 한다고 하면, 함수의 합성 $f_{\mathbf{A}} \circ f_{\mathbf{B}}$ 의 역할은 행렬 $\mathbf{AB}$ 가 할 수 있다는 것을 알 수 있다. 다시 말하면, 행렬의 곱셈은 선형사상의 합성에 대응된다.

행렬의 곱셈을 저리 괴상하게 정의한 이유는, 바로 행렬들을 함수로 보고 있기 때문이다. 이것이 바로 선형대수학 제일의 철학, ‘선형사상은 행렬과 같다’ 는 말이다. (사상 = 함수)

그러므로 행렬들의 곱셈은 결합법칙을 만족시킨다.


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